《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

问题 如图,把Rt△ABC的斜边AB放在定直线$l$上,按顺时针方向在$l$上转动两次,使它转到△A''B''C''位置,设BC= 1,AC= $\sqrt{3}$,则顶点A运动到点A''的位置时,点A经过的路线长是______；点A经过的路线与直线$l$所围成的面积是______.
名师指导
Rt△ABC转动两次,每一次的圆心、半径、旋转的角度都不一样,因此,要进行分步计算.第一次是以B为圆心,AB长为半径旋转,则A经过的路线是以B为圆心,AB长为半径的弧；第二次是以C'为圆心,A'C'(即AC)长为半径旋转,则A经过的路线是以C'为圆心,A'C'长为半径的弧.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
]

答案： 路线长：$\frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$
面积：$\frac{25\pi}{12}$

1. 如图,有一长为4 cm,宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点A的位置变化为$A→A_1→A_2,$其中第二次翻滚被桌面上一个小木块挡住,使木板边沿$A_2C$与桌面成30°角,则点A翻滚到$A_2$位置时,共走过的路径长为( )

A.10 cm
B.$3.5\pi$ cm
C.$4.5\pi$ cm
D.$2.5\pi$ cm
]

答案： B

2. 一个扇形的圆心角是120°,面积是 $3\pi$ cm^2,那么这个扇形的半径是______cm.

答案： 3

3. 如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得∠AOB= 120°,OA= 15 m,OC= 10 m,则种草区域的面积为______.

答案： $\frac{125\pi}{3}\, m^2$