《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

2. 在平面直角坐标系中,已知点 $ A(-2,-3) $ 和点 $ B(-1,4) $,取线段 $ AB $ 的中点 $ C $.
(1)求点 $ C $ 的坐标；
(2)说明点 $ A $ 与点 $ B $ 关于哪一点中心对称；
(3)把线段 $ AB $ 绕点 $ O $ 旋转 $ 180° $ 后得线段 $ A'B' $,写出点 $ A' $,$ B' $ 的坐标.

答案： 解：（1）点C的坐标为（-1.5，0.5）；（2）点A与点B关于点C中心对称；（3）点A'的坐标为（2，3），点B'的坐标为（1，-4）.

3. 把两个全等的等腰直角三角板 $ ABC $ 与 $ EFG $(其直角边长都为 4)叠放在一起,且使三角板 $ EFG $ 的直角顶点 $ G $ 与三角板 $ ABC $ 的斜边中点 $ O $ 重合 [如图(1)]. 现将三角板 $ EFG $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转(旋转角 $ \alpha $ 满足 $ 0° ＜ \alpha ＜ 90° $),四边形 $ CHGK $ 是旋转过程中两个三角板的重叠部分 [如图(2)].

(1)在上述旋转过程中,$ BH $ 与 $ CK $ 有怎样的数量关系？四边形 $ CHGK $ 的面积有何变化？证明你发现的结论.
(2)连接 $ HK $,在上述旋转过程中,设 $ BH = x $,$ \triangle GKH $ 的面积为 $ y $,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使 $ \triangle GKH $ 的面积恰好等于 $ \triangle ABC $ 的面积的 $ \frac{5}{16} $？若存在,求出此时 $ x $ 的值；若不存在,请说明理由.

答案：
解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变化.事实上，连接CG(如图)，
∵△ABC为等腰直角三角形，O(G)为其斜边的中点，
∴CG=BG，CG⊥AB.
∴∠ACG=∠B=45°.
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK.
∴△BGH≌△CGK.
∴BH=CK，S△BGH=S△CGK.
∴S四边形CHGK=S△CGB=4，即S四边形CHGK是一个定值，在旋转过程中没有变化.
（2）
∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4-x，CK=x.由S△GHK=S四边形CHGK - S△CHK，得y=4 - $\frac{1}{2}x(4 - x)$，
∴y=$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 4$.
∵0°＜α＜90°，
∴0＜x＜4.
（3）存在.根据题意，得$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 4 = \frac{5}{16}×8$，解这个方程得x₁=1，x₂=3.即当x₁=1或x₂=3时，△GKH的面积恰好等于△ABC的面积的$\frac{5}{16}$.