《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 对于二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 5 $ 的图象,下列说法正确的是( )

A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = - 2 $
C.与 $ x $ 轴有两个交点
D.顶点坐标是 $ (2,1) $

答案： D.

2. 抛物线 $ y = x^{2} - 2x - m^{2} $($ m $ 是常数)的顶点在( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D.

3. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,则 $ a,b,c $ 满足( )

A.$ a \lt 0,b \lt 0,c \lt 0 $
B.$ a \gt 0,b \lt 0,c \lt 0 $
C.$ a \lt 0,b \gt 0,c \gt 0 $
D.$ a \gt 0,b \lt 0,c \gt 0 $
]

答案： D.

4. 若函数 $ y = - 3x^{2} + 12x + 5 $ 中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ x $ 的取值范围是____。

答案： $x＜2$.

5. 已知抛物线 $ y = x^{2} + (m - 1)x - 4 $ 的顶点的横坐标是 $ - 8 $,则 $ m = $____。

答案： 17.

6. 已知抛物线 $ y = - x^{2} + 4x + m - 2 $ 的最大值为 $ - 1 $,则 $ m = $____。

答案： $-3$.

7. 已知函数 $ y = x^{2} - 2x - 2 $ 的图象如图所示,根据图中提供的信息,可求得使 $ y \geqslant 1 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是____。
]

答案： $x\leqslant -1$或$x\geqslant 3$.

问题 已知抛物线 $ y = x^{2} + (a + 1)x + a $,其中 $ a $ 为实数。
(1)若抛物线经过点 $ (-1,m) $,则 $ m = $____；
(2)将抛物线向上平移 $ 2 $ 个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是____。

答案：
(1) 将 $ x = -1 $ 代入抛物线 $ y = x^2 + (a + 1)x + a $，得：
$ y = (-1)^2 + (a + 1)(-1) + a = 1 - a - 1 + a = 0 $，故 $ m = 0 $。
(2) 原抛物线 $ y = x^2 + (a + 1)x + a $ 的顶点纵坐标为：
$ \frac{4 × 1 × a - (a + 1)^2}{4 × 1} = \frac{4a - (a^2 + 2a + 1)}{4} = \frac{-a^2 + 2a - 1}{4} = -\frac{(a - 1)^2}{4} $。
向上平移 2 个单位后，顶点纵坐标为 $ -\frac{(a - 1)^2}{4} + 2 $。
因为 $ (a - 1)^2 \geq 0 $，所以 $ -\frac{(a - 1)^2}{4} \leq 0 $，当 $ a = 1 $ 时，$ -\frac{(a - 1)^2}{4} $ 取最大值 0，此时顶点纵坐标最大值为 $ 0 + 2 = 2 $。
(1) 0
(2) 2