《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 若二次函数 $ y = - \frac{1}{2}(x - m)^{2} + 3 $,当 $ x \leqslant 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围为( )

A.$ m = 2 $
B.$ m \gt 2 $
C.$ m \geqslant 2 $
D.$ m \leqslant 2 $

答案： C.

2. 点 $ P_{1}(-1,y_{1}) $,$ P_{2}(3,y_{2}) $,$ P_{3}(5,y_{3}) $ 均在二次函数 $ y = - x^{2} + 2x + c $ 的图象上,则 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 的大小关系是( )

A.$ y_{3} \gt y_{2} \gt y_{1} $
B.$ y_{3} \gt y_{1} = y_{2} $
C.$ y_{1} \gt y_{2} \gt y_{3} $
D.$ y_{1} = y_{2} \gt y_{3} $

答案： D.

3. 对于二次函数 $ y = - \frac{1}{4}x^{2} + x - 4 $,下列说法正确的是( )

A.当 $ x \gt 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 有最大值 $ - 3 $
C.图象的顶点坐标为 $ (-2,-7) $
D.图象与 $ x $ 轴有两个交点

答案： B.

4. 将二次函数 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} - 2x - 1 $ 通过配方化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为 $ y = $____,它的图象的顶点坐标是____,对称轴是____。

答案： $-\dfrac{1}{2}(x+2)^{2}+1$;$(-2,1)$;直线$x=-2$.

5. 对于一个二次函数 $ y = a(x - m)^{2} + k(a \neq 0) $ 中存在一点 $ P(x',y') $,使得 $ x' - m = y' - k \neq 0 $,则称 $ 2|x' - m| $ 为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x + 3 $ 的“开口大小”为____。

答案： 4.

6. 把抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + x $ 向____平移____个单位长度,再向____平移____个单位长度,得到抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} $。

答案： 左;1;下;$\dfrac{1}{2}$.

7. 二次函数 $ y = - (x + 3)^{2} + h(t \leqslant x \leqslant t + 2) $ 的图象上任意两点连线不与 $ x $ 轴平行,则 $ t $ 的取值范围为____。

答案： $t\leqslant -5$或$t\geqslant -3$.

8. 如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,顶点 $ M $ 关于 $ x $ 轴的对称点是 $ M' $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线 $ AM' $ 与此抛物线的另一个交点为 $ C $,求 $ \triangle CAB $ 的面积。
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答案： （1）抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3$；（2）$\triangle CAB$的面积是24.