《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

4. 抛物线$y = 2x^{2}+7x+m与x$轴只有一个交点,则$m = $______。

答案： $\frac{49}{8}$

5. 若二次函数$y = x^{2}-2x+m的图象与x$轴有两个交点,则$m$的取值范围是______。

答案： $m＜1$

6. 如图,二次函数$y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)的图象与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于C$点,且对称轴为直线$x = 1$,点$B坐标为(-1,0)$。则下面的四个结论：①$2a + b = 0$；②$4a - 2b + c\lt0$；③$abc\gt0$；④当$y\lt0$时,$x\lt-1或x\gt2$。其中正确的是______。

答案： ①②

问题 已知抛物线$y = x^{2}-(2k - 3)x + k^{2}+1与x轴有两个交点A和B$。
(1)求$k$的取值范围；
(2)证明：点$A和点B在x$轴的负半轴上；
(3)若点$A$,$B到原点的距离分别为OA$,$OB$,且$OA + OB = 2OA\cdot OB - 3$,求$k$的值。
名师指导
抛物线$y = ax^{2}+bx+c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^{2}+bx+c = 0$的两个解,若设交点的横坐标为$x_{1}$,$x_{2}$,则$OA = |x_{1}|$,$OB = |x_{2}|$,然后利用一元二次方程的根与系数的关系进行求解。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
(1) 抛物线与x轴有两个交点，即方程$x^{2}-(2k - 3)x + k^{2}+1=0$有两个不等实根，判别式$\Delta＞0$。
$\Delta = [-(2k - 3)]^{2}-4×1×(k^{2}+1)=4k^{2}-12k + 9 - 4k^{2}-4=-12k + 5$，
由$-12k + 5＞0$，得$k＜\frac{5}{12}$。
(2) 设方程两根为$x_{1},x_{2}$，由韦达定理：
$x_{1}+x_{2}=2k - 3$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+1$。
$x_{1}x_{2}=k^{2}+1＞0$，故两根同号；
由
(1)知$k＜\frac{5}{12}$，则$x_{1}+x_{2}=2k - 3＜2×\frac{5}{12}-3=-\frac{13}{6}＜0$，
故两根均为负，即点$A,B$在x轴负半轴上。
(3) 由
(2)知$OA=-x_{1},OB=-x_{2}$，则$OA + OB=-(x_{1}+x_{2})$，$OA\cdot OB=x_{1}x_{2}$。
代入$OA + OB=2OA\cdot OB - 3$，得$-(x_{1}+x_{2})=2x_{1}x_{2}-3$。
即$-(2k - 3)=2(k^{2}+1)-3$，化简得$-2k + 3=2k^{2}-1$，
整理：$2k^{2}+2k - 4=0$，即$k^{2}+k - 2=0$，
解得$k_{1}=-2,k_{2}=1$。
由
(1)知$k＜\frac{5}{12}$，故$k=1$舍去，$k=-2$。
综上，
(1)$k＜\frac{5}{12}$；
(2)证明见上；
(3)$k=-2$。

1. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

A.$a\gt0$,$bc\gt0$,$\Delta\lt0$
B.$a\lt0$,$bc\gt0$,$\Delta\lt0$
C.$a\gt0$,$bc\lt0$,$\Delta\lt0$
D.$a\lt0$,$bc\lt0$,$\Delta\gt0$

答案： D

2. 已知抛物线$y = x^{2}-2x+m$($m$为常数)与$x轴的一个交点为(1,0)$,则关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+m = 0$的解是( )

A.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 0$
D.$x_{1}= x_{2}= 1$

答案： D

3. 若抛物线$y = kx^{2}-x + 1与x$轴有交点,则$k$的取值范围是______。

答案： $k \leqslant \frac{1}{4}$且$k \neq 0$

4. 如图,抛物线$y = -x^{2}+2x+3与y轴交于点C$,点$D(0,1)$,点$P$是抛物线上的动点。若$\triangle PCD是以CD$为底的等腰三角形,则点$P$的坐标为______。

答案： $(1 \pm \sqrt{2},2)$