《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 有一长方形条幅,长为2m,宽为1m,四周镶上宽度均为x(m)的花边,则剩余面积$S(m^2)$与花边宽度x(m)之间的函数关系式为_________,自变量x的取值范围为_________.

答案： $y=4x^{2}-6x+2;0＜x＜\frac{1}{2}$.

2. 用长为20cm的铁丝围成一个矩形,若矩形的一边长为x cm,面积为y cm^2,则y与x之间的函数关系式为____.当x= ____时,矩形的面积最大,$y_{max}= $_________$.$

答案： $y=-x^{2}+10x;5;25$.

3. 如图,若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为$h= 20t-5t^2,$则小球从飞出到落地所用的时间为_________s.

答案： 4.

4. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 6cm,BC= 8cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是____.

答案： $9\ cm^{2}$.

问题 如图,某农场要盖一排三间的长方形羊圈,打算一面利用长为16m的旧墙,其余各面用木材围成栅栏,计划用木材围成总长24m的栅栏.设每间羊圈与墙垂直的一边长AB为x(m),三间羊圈的总面积为$S(m^2).$

(1) 求S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2) 当x取何值时所围成的羊圈面积最大,最大值是多少?
(3) 若墙的最大可用长度AD为8m,求围成羊圈的最大面积.
名师指导
这是二次函数应用的面积问题,它一般用常见图形的面积公式、勾股定理,或利用面积割补等,找到二次函数的关系式,再求最值.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
(1) 设$AB = x$ (m)，则$BC$的长度为$24 - 4x$ (因为有三垂直边和中间两隔栏，总长为$24m$，减去四倍的$x$)，所以三间羊圈的总面积$S$为：
$S = x(24 - 4x) = -4x^2 + 24x$，
由于$BC$的长度受到旧墙长度$16m$的限制，即：
$24 - 4x \leq 16$，
解得：
$x \geq 2$，
同时，每边长度$x$必须大于0，且总木材长度限制了$x$的上限，即：
$0 ＜ x ＜ 6$，
综合上述条件，得$x$的取值范围为：
$2 \leq x ＜ 6$，
所以$S$与$x$的函数关系式为：
$S = -4x^2 + 24x \quad (2 \leq x ＜ 6)$。
(2) 对于二次函数$S = -4x^2 + 24x$，其开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = 3$。
由于$a = -4 ＜ 0$，函数在对称轴$x = 3$处取得最大值。
将$x = 3$代入$S$，得：
$S_{max} = -4 × 3^2 + 24 × 3 = 36$，
所以当$x = 3$时，所围成的羊圈面积最大，最大值为$36m^2$。
(3) 若墙的最大可用长度$AD$为$8m$，则$BC$的长度限制为：
$0 ＜ 24 - 4x \leq 8$，
解得：
$4 \leq x ＜ 6$，
在区间$[4, 6)$上，由于二次函数$S = -4x^2 + 24x$的开口向下，且对称轴为$x = 3$，函数在此区间内是单调递减的。
因此，当$x = 4$时，取得该区间上的最大值，即：
$S_{max} = -4 × 4^2 + 24 × 4 = 32$，
所以若墙的最大可用长度$AD$为$8m$，围成羊圈的最大面积为$32m^2$。