《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

5. 已知抛物线$y = x^{2}-2(m + 1)x + 2(m - 1)$。若抛物线与$x轴的一个交点为(3,0)$,试求$m$的值及另一个交点的坐标。

答案： $m=\frac{1}{4}$,抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$\left(-\frac{1}{2},0\right)$

6. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+x - m = 0$。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y = x^{2}+x - m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$的解。

答案：
(1)$m＞-\frac{1}{4}$;
(2)$x_{1}=1,x_{2}=-2$

7. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx+16的图象经过点(-2,40)和(6,-8)$,求一元二次方程$ax^{2}+bx+16 = 0$的根。

答案： $x_{1}=2,x_{2}=8$

已知抛物线$C_{1}:y = a_{1}x^{2}+b_{1}x+c与抛物线C_{2}:y = a_{2}x^{2}+b_{2}x+c$中,若满足$\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}$,则称抛物线$C_{1}$,$C_{2}$为“比例”抛物线。
(1)已知$y = x^{2}+3x - 6与y = 3x^{2}+bx - 6$是“比例”抛物线。
①$b$的值为______；②求出它们的交点坐标______。
(2)设抛物线$y = x^{2}+4x - 6$,$y = ax^{2}+4ax - 6$,$y = 3ax^{2}+12ax - 6(a\gt0)的顶点分别为D$,$E$,$F$。
①判断它们______“比例”抛物线(填“是”或“不是”)；
②若$EF = 4DE$,求$a$的值。

答案：
(1)①$b=9$；②$(0,-6),(-3,-6)$.
(2)①是；②$a=2$或$a=\frac{2}{3}$

1. 抛物线$y = x^{2}+2x+m - 1与x$轴有两个不同的交点,则$m$的取值范围是( )

A.$m\lt2$
B.$m\gt2$
C.$0\lt m\leqslant2$
D.$m\lt-2$

答案： A

2. 如果二次函数$y = ax^{2}+bx+c(a\gt0)的顶点在x$轴上方,那么( )

A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\lt0$
C.$b^{2}-4ac\gt0$
D.$b^{2}-4ac = 0$

答案： B