《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED= 16m,AE= 8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1) 求抛物线的函数解析式；
(2) 已知从某时刻开始的40h内,水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)的变化满足函数关系h= -$\frac{1}{128}$(t-19)^2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5m时,需禁止船只通行,请通过计算说明：在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?

答案： （1）$y=-\frac{3}{64}x^{2}+11$；（2）需32h禁止船只通行.

2. 【综合与实践】小东在复习二次函数时,遇到这样一个问题：
如图(1),一个横截面为抛物线形的公路隧道,其底部宽12m,最大高度6m.车辆双向通行,规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2m的范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于$\frac{1}{3}$m的空隙.你能否根据这些要求,建立适当的平面直角坐标系,应用已有的函数知识,确定通过隧道车辆的高度限制?
如图(2),小东以点O为原点,地面OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,请你帮小东解决问题：
2题
(1) 求出这条抛物线的函数解析式,并注明自变量x的取值范围；

(2) 求出通过隧道车辆的高度限制应为多少米；
(3) 老师说：隧道检修过程中,计划搭建一个由矩形ABCD的三条边AD-DC-CB组成的“支撑架”,使C,D两点在抛物线上,A,B两点在地面OM上,如图(3).为了筹备材料,需求出这个“支撑架”三根木杆AD,DC,CB的长度之和的最大值是多少,请你帮忙计算一下.

答案： （1）$y=-\frac{1}{6}(x-6)^{2}+6(0\leqslant x\leqslant12)$；（2）3米；（3）这个支架总长的最大值为15米.