《2025年夺冠百分百新导学课时练七年级数学下册人教版》

4. (2024邯郸邯山区期末)已知方程组$\begin{cases}4x + y = 5\\3x - 2y = 1\end{cases}$和$\begin{cases}ax + by = 3\\ax - by = 1\end{cases}$有相同的解，求$a^{2}-2ab + b^{2}$的值。

答案： 解：解方程组$\begin{cases}4x + y = 5,\\3x - 2y = 1,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$
把$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$代入第二个方程组，得$\begin{cases}a + b = 3,\\a - b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1.\end{cases}$
则$a^{2} - 2ab + b^{2} = 2^{2} - 2×2×1 + 1^{2} = 1$。

5. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - 5y = 36\\bx + ay = -8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}2x + 5y = -26\\ax - by = -4\end{cases}$有相同的解。
(1)求这两个方程组的相同解。
(2)求$(2a + b)^{2023}$的值。

答案： 解：
(1)由题意得$\begin{cases}2x + 5y = -26,①\\3x - 5y = 36,②\end{cases}$
① + ②得$5x = 10$，解得$x = 2$，
把$x = 2$代入①得$4 + 5y = -26$，解得$y = -6$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = -6.\end{cases}$
所以这两个方程组相同的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = -6.\end{cases}$
(2)把$\begin{cases}x = 2,\\y = -6\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = -4,\\bx + ay = -8\end{cases}$中可得$\begin{cases}2a + 6b = -4,\\2b - 6a = -8,\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a + 3b = -2,①\\b - 3a = -4,②\end{cases}$
①×3得$3a + 9b = -6$，③
② + ③得$10b = -10$，解得$b = -1$。
把$b = -1$代入②得$-1 - 3a = -4$，解得$a = 1$。
所以$(2a + b)^{2023} = (2 - 1)^{2023} = 1^{2023} = 1$。
所以$(2a + b)^{2023}$的值为$1$。

6. 甲、乙两人同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15,①\\4x - by = -2,②\end{cases}$甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}$，乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$，试计算$a^{2023}+(-\frac{1}{10}b)^{2023}$的值。

答案： 解：将$\begin{cases}x = -3,\\y = -1\end{cases}$代入②得$-12 + b = -2$，即$b = 10$，
将$\begin{cases}x = 5,\\y = 4\end{cases}$代入①得$5a + 20 = 15$，即$a = -1$，
则$a^{2023} + (-\frac{1}{10}b)^{2023} = (-1)^{2023} + (-1)^{2023} = -1 - 1 = -2$。

7. 嘉嘉和珍珍在一起做老师留的家庭作业，其中有这样一道题:
解关于$x,y$的二元一次方程组:$\begin{cases}ax + by = 5\\3x + cy = 1\end{cases}$。
嘉嘉不小心把$c$抄错了，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，而珍珍则解出了正确结果$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
请根据以上信息，解答以下问题:
(1)求$c$的值。
(2)求$a + b - c$的平方根。

答案： 解：
(1)把$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$代入$3x + cy = 1$，得$3 + 2c = 1$，
解得$c = -1$。
(2)把$\begin{cases}x = 3,\\y = 1\end{cases}$，$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$分别代入$ax + by = 5$，
得$\begin{cases}3a + b = 5,\\a + 2b = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 2.\end{cases}$
所以$a + b - c = 1 + 2 - (-1) = 4$，
所以$a + b - c$的平方根为$\pm2$。