《2025年夺冠百分百新导学课时练七年级数学下册人教版》

5. 如图，直线$MN$分别与直线$AP$，$DG$交于点$B$，$F$，且$\angle 1=\angle 2$. $\angle ABF$的平分线$BE$交直线$DG$于点$E$，$\angle BFG$的平分线$FC$交直线$AP$于点$C$.
（1）请判断直线$AP$与$DG$的位置关系，并说明理由.
（2）试说明：$BE// CF$.
（3）若$\angle ACF=37^{\circ}$，求$\angle BED$的度数.

答案： 解:
(1)AP//DG,理由如下:因为∠ABF = ∠1,∠1 = ∠2,所以∠ABF = ∠2,所以AP//DG.
(2)由
(1)知AP//DG,所以∠ABF = ∠BFG.因为∠ABF的平分线BE交直线DG于点E,∠BFG的平分线FC交直线AP于点C，所以∠EBF = $\frac{1}{2}$∠ABF、∠CFB = $\frac{1}{2}$∠BFG,所以∠EBF = ∠CFB,所以BE//CF.
(3)∠BED = 143°.

6.（2024石家庄桥西区期末）已知$AB// CD$，在$AB$，$CD$之间任取一点$E$，连接$EA$，$ED$.
（1）如图1，若$\angle A=30^{\circ}$，$\angle D=45^{\circ}$，求$\angle E$的度数.
（2）如图2，猜想$\angle A$，$\angle AED$，$\angle D$的数量关系，并说明理由.

答案：
解:
(1)如图1,过点E作EF//CD,所以∠DEF = ∠D.因为AB//DC,EF//CD,所以EF//AB,所以∠AEF = ∠A,所以∠AEF + ∠DEF = ∠A + ∠D = 30° + 45° = 75°,所以∠AED = 75°.
(2)如图2,猜想:∠A + ∠AED + ∠D = 360°,理由如下:过点E作EM//AB,所以∠A + ∠AEM = 180°.因为AB//CD,EM//AB,所以CD//EM,所以∠DEM + ∠D = 180°,所以∠A + ∠AEM + ∠DEM + ∠D = 360°,所以∠A + ∠AED + ∠D = 360°.

7. 综合与探究
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界. 数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
如图1，$AB// CD$，$\angle B=125^{\circ}$，$\angle C=25^{\circ}$，求$\angle BPC$的度数.
小康的解法如下：
解：如图1，过点$P$作$PQ// AB$.
因为$AB// CD$，
所以$PQ// CD$（根据1）.
因为$AB// PQ$，
所以$\angle B+\angle BPQ=180^{\circ}$（根据2）.
……
（1）①小康的解法中的根据1是指__________；
②根据2是指____________________________.
（2）按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程.
（3）聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中$AB// CD$，$\angle B=125^{\circ}$，$\angle PQC=65^{\circ}$，$\angle C=145^{\circ}$，求$\angle BPQ$的度数.

答案： 解:
(1)①平行于同一条直线的两条直线互相平行②两直线平行，同旁内角互补
(2)因为PQ//CD,所以∠C = ∠CPQ.因为∠B = 125°,∠C = 25°,所以∠BPC = ∠BPQ + ∠QPC = 180° - ∠B + ∠C = 180° - 125° + 25° = 80°.
(3)∠BPQ = 85°.