《2025年夺冠百分百新导学课时练七年级数学下册人教版》

若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5,\\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$则关于$a$，$b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5,\\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的解是________.

答案： $\begin{cases}a = \frac{3}{2}, \\ b = -\frac{1}{2}\end{cases}$

(2024邯郸邯山区期中)某物流公司在运货时有A，B两种车型，如果用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物. 现需要运输货物32吨，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物.
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次. 请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金.

答案： 解：
(1)设1辆A型车载满货物一次可运输货物$x$吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物$y$吨，
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 17, \\ 2x + 3y = 18,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3, \\ y = 4.\end{cases}$
答：1辆A型车载满货物一次可运输货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物4吨.
(2)设需租用A型车$m$辆，B型车$n$辆，
根据题意，得$3m + 4n = 32$，
所以$n = 8 - \frac{3}{4}m$.
又因为$m$，$n$均为正整数，
所以$\begin{cases}m = 4, \\ n = 5\end{cases}$或$\begin{cases}m = 8, \\ n = 2.\end{cases}$
所以该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，5辆B型车，所需租车费用为$200×4 + 240×5 = 2000$(元)；
方案2：租用8辆A型车，2辆B型车，所需租车费用为$200×8 + 240×2 = 2080$(元).
因为$2000 ＜ 2080$，
所以当租用4辆A型车，5辆B型车时，租金最少，最少租金为2000元.

(拓展探究题)小明同学遇到下面的问题：
解方程组$\begin{cases}\frac{2x + 3y}{4} + \frac{2x - 3y}{3} = 7,\\\frac{2x + 3y}{3} + \frac{2x - 3y}{2} = 8,\end{cases}$他发现，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的$(2x + 3y)$看作一个数，把$(2x - 3y)$看作一个数，通过换元，可以解决问题.
以下是他的解题过程：
令$m = 2x + 3y$，$n = 2x - 3y$，这时原方程组化为$\begin{cases}\frac{m}{4} + \frac{n}{3} = 7,\\\frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 60,\\n = -24,\end{cases}$把$\begin{cases}m = 60,\\n = -24\end{cases}$代入$m = 2x + 3y$，$n = 2x - 3y$，得$\begin{cases}2x + 3y = 60,\\2x - 3y = -24,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 9,\\y = 14,\end{cases}$所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 9,\\y = 14.\end{cases}$
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{4} = 3,\\\frac{x + y}{4} + \frac{x - y}{2} = 0.\end{cases}$

答案： 解：由题意可设$x + y = m$，$x - y = n$，
则方程组变形为$\begin{cases}\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = 3, \\ \frac{m}{4} + \frac{n}{2} = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 8, \\ n = -4.\end{cases}$
所以$\begin{cases}x + y = 8, \\ x - y = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2, \\ y = 6.\end{cases}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 6.\end{cases}$