《2025年夺冠百分百新导学课时练七年级数学下册人教版》

5. 解方程组：
(1)$\begin{cases}3x - 5y = 3,①\\\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1.②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x + 2y = 10,①\\\frac{x}{2} = 1 + \frac{y + 1}{3}.②\end{cases}$
(3)$\begin{cases}3x - 2y + 20 = 0,①\\2x + 15y - 3 = 0.②\end{cases}$

答案： 解：
(1)$\begin{cases}x = \frac{8}{3},\\y = 1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x = 3,\\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x = -6,\\y = 1.\end{cases}$

6. 先阅读，再解方程组.
解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6,\\4(x + y) - 5(x - y) = 2\end{cases}$时，设$a = x + y$，$b = x - y$，则原方程组变为$\begin{cases}\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6,\\4a - 5b = 2,\end{cases}$整理，得$\begin{cases}3a + 2b = 36,\\4a - 5b = 2,\end{cases}$解这个方程组，得$\begin{cases}a = 8,\\b = 6,\end{cases}$即$\begin{cases}x + y = 8,\\x - y = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 7,\\y = 1.\end{cases}$
请用这种方法解下面的方程组：$\begin{cases}5(x + y) - 3(x - y) = 16,\\3(x + y) - 5(x - y) = 0.\end{cases}$

答案： 解：设$m = x + y,n = x - y$,则原方程组变为$\begin{cases}5m - 3n = 16,①\\3m - 5n = 0,②\end{cases}$①×3，得$15m - 9n = 48$,③②×5，得$15m - 25n = 0$,④③ - ④，得$16n = 48$,解得$n = 3$,把$n = 3$代入①得$5m - 9 = 16$,解得$m = 5$,则方程组的解为$\begin{cases}m = 5,\\n = 3,\end{cases}$则可得$\begin{cases}x + y = 5,⑤\\x - y = 3,⑥\end{cases}$⑤ + ⑥得$2x = 8$,解得$x = 4$,把$x = 4$代入⑤得$4 + y = 5$,解得$y = 1$,故原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 1.\end{cases}$

7. (2023秦皇岛一模)我们定义一个关于非零常数$a$，$b$的新运算，规定：$a\bigodot b = ax + by$.
例如：$3\bigodot2 = 3x + 2y$.
(1)如果$x = - 5$，$2\bigodot4 = - 18$，求$y$的值.
(2)$1\bigodot1 = 8$，$4\bigodot2 = 20$，求$x$，$y$的值.

答案： 解：
(1)根据题意，得$2x + 4y = -18$,把$x = -5$代入，得$-10 + 4y = -18$,解得$y = -2$.
(2)根据题意，得$\begin{cases}x + y = 8,\\4x + 2y = 20,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 6.\end{cases}$

8. 对于任意的有理数$a$，$b$，$c$，$d$，我们规定：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，根据这一规定，解答以下问题：若$x$，$y$同时满足$\begin{vmatrix}x&-y\\-6&5\end{vmatrix}=13$，$\begin{vmatrix}3&4\\-y&x\end{vmatrix}=4$，求$xy$的值.

答案： 解：根据题意，得$\begin{cases}5x - 6y = 13,\\3x + 4y = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = -\frac{1}{2},\end{cases}$则$xy = -1$.