《2025年全优课堂八年级数学下册》

25. (1)在同一平面直角坐标系内画出正比例函数y₁=-2x与y₂=$\frac{1}{2}$x的图象；
(2)请用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么? 写出你的猜想.

答案：
解：
(1)如图所示；

(2)两条直线的交角为90°；猜想：当两个正比例函数两系数之积为-1时，两条直线的交角为90°，即两条直线互相垂直.

26. 设有三个变量x，y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数.
(1)求证：z是x的正比例函数；
(2)如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数解析式.

答案： 解：
(1)证明：设y = kx(k为常数且k≠0)，z = ny(n为常数且n≠0)，则有z = knx，且kn≠0，故z是x的正比例函数；
(2)将z = 1，x = 4代入z = knx，得1 = 4kn，解得$kn=\frac{1}{4}$，则$z=\frac{1}{4}x$.

27. 某衡器厂的RGZ - 120型体重秤最大称重为120 kg，在体检时可看到如图所示的显示盘.已知，指针顺时针旋转角x(度)与体重y(kg)有如下关系：

(1)根据表格中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点，顺次连接各点后，你发现这些点在哪一种图象上，合情猜想符合这个图形的函数解析式；
(2)验证这些点的坐标是否满足函数解析式，归纳结论(写出自变量x的取值范围)；
(3)当指针旋转到158.4°的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用解析式求出此时的体重.

答案：
解：
(1)描点连接后，发现四个点在经过原点的一条直线上，猜想：y = kx(k≠0)；将x = 72，y = 25代入y = kx(k≠0)中，得25 = 72k，则$k=\frac{25}{72}$，因此$y=\frac{25}{72}x$；

(2)把x = 144，y = 50分别代入$y=\frac{25}{72}x$中，左边 = 50，右边 = $\frac{25}{72}\times144 = 50$，左边 = 右边，因此(144,50)满足$y=\frac{25}{72}x$.同理可验证(216,75)也满足$y=\frac{25}{72}x$.因此符合要求的函数解析式是$y=\frac{25}{72}x$.当y = 120时，$120=\frac{25}{72}x$，解得x = 345.6，
∴自变量的取值范围是0≤x≤345.6；
(3)当x = 158.4时，$y=\frac{25}{72}\times158.4 = 55$(kg).
∴此时的体重是55 kg.

28. 如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点.

(1)若此正方形边长为2，则k=______；
(2)若此正方形边长为a，则k的值是否发生变化? 若不会发生变化，说明理由；若会发生变化，试求出a的值.

答案： 解：
(1)$\frac{2}{3}$ 提示：
∵正方形边长为2，
∴AB = 2，在直线y = 2x中，当y = 2时，x = 1，
∴OA = 1，OD = 1 + 2 = 3，
∴C(3,2)，将C(3,2)的坐标代入y = kx，得2 = 3k，解得$k=\frac{2}{3}$；
(2)k的值不会发生变化.
理由：
∵正方形边长为a，
∴AB = a，在直线y = 2x中，当y = a时，$x=\frac{a}{2}$，
∴$OA=\frac{a}{2}$，$OD=\frac{a}{2}+a=\frac{3}{2}a$，
∴$C(\frac{3}{2}a,a)$，将$C(\frac{3}{2}a,a)$的坐标代入y = kx，得$a=k\times\frac{3}{2}a$，
∴$k=\frac{2}{3}$.

29. (陕西中考)设正比例函数y=mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增大而减小，则m= ( )
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4

答案： B 提示：把x = m，y = 4代入y = mx中，可得4 = $m^{2}$，解得m = ±2，
∵y的值随x值的增大而减小，
∴m ＜ 0，
∴m = -2.

30. (天津中考)若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 ______(写出一个即可).

答案： -2(答案不唯一)

31. 定义运算 * 为$a*b=\begin{cases}ab(b＞0), \\ -ab(b≤0). \end{cases} $如：1*(-2)=-1×(-2)=2，则函数y=2*x的图象大致是( )

答案： C 提示：$y = 2|x|=\begin{cases}2x(x ＞ 0)\\-2x(x\leq0)\end{cases}$，x ＞ 0时，图象是正比例函数y = 2x的图象中y轴右侧的部分；x≤0时，图象是正比例函数y = -2x的图象中y轴左侧的部分.