《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF=2，则AC的长是（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案：
B　提示:如图,连接AF.
∵AB=AD,F是BD的中点,
∴AF⊥BD.在Rt△ACF中,∠AFC=90°,E是AC的中点,EF=2,
∴AC=2EF=4.

2. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1.运动过程中，点C到点O的最大距离是（ ）

A. $\frac{\sqrt{145}}{5}$
B. $\sqrt{2}$+1
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{5}{2}$

答案：
B　提示:如图，取AB的中点E,连接OE,CE,OC.
∵OC≤OE+CE,
∴当O,C,E三点共线时，点C到点O的距离最大.此时,
∵AB=2,BC=1,
∴OE=BE=$\frac{1}{2}$AB=1,CE=$\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}$=$\sqrt{2}$,
∴OC的最大值为OE+CE=1+$\sqrt{2}$.

3. 如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F，G分别为BC，DE的中点，若ED=10，则FG的长为____________.

答案：
2$\sqrt{14}$　提示:如图,连接EF,DF.
∵BD,CE是△ABC的高,F是BC的中点,
∴在Rt△CEB中,EF=$\frac{BC}{2}$,在Rt△BDC中,FD=$\frac{BC}{2}$,
∴FE=FD=9,即△EFD为等腰三角形,又
∵G是ED的中点,
∴FG是等腰三角形EFD的中线,EG=DG=$\frac{1}{2}$ED =5,
∴FG⊥DE(三线合一),在Rt△GDF中,FG=$\sqrt{FD^{2}-DG^{2}}$=$\sqrt{81 - 25}$=2$\sqrt{14}$.

4. 如图，BF，CE相交于点A，BE=BA，CA=CF，若点D，M，N分别是BC，AE，AF的中点.
（1）求证：DM=DN；
（2）连接MN，若BC=14 cm，MN=5 cm，求△DMN的周长.

答案：
解:
(1)证明:如图,连接BM,CN.
∵BE=BA,M为AE的中点,
∴BM⊥CE,
∴△BMC为直角三角形,又
∵点D为BC的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,同理可得DN=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=DN;
(2)如图,连接MN,
∵BC=14 cm,
∴DM=DN=$\frac{1}{2}$BC=7 cm,又
∵MN=5 cm,
∴DM+DN+MN=7+7+5=19(cm),即△DMN的周长为19 cm.

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC上，AB = $\frac{1}{2}$DE，AD//BC.
求证：∠CBA=3∠CBE.

答案：
证明:如图,取DE的中点F,连接AF.
∵AD//BC,∠ACB=90°,
∴∠DAE=∠ACB=90°,
∴AF=DF=EF=$\frac{1}{2}$DE,
∵AB=$\frac{1}{2}$DE,
∴DF=AF=AB,
∴∠D=∠DAF,∠AFB=∠ABF,
∵∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D,
∴∠ABF=2∠D,
∵AD//BC,
∴∠CBE=∠D,
∴∠CBA=∠CBE+∠ABF=3∠D=3∠CBE.

6. 如图，在△ABC中，∠BAC≠90°，∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC于点D，求证：DC=2AB.

答案：
证明:如图,作△ACD的边CD上的中线AE,交CD于点E,
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°,
∴AE=CE=DE=$\frac{1}{2}$CD,
∴∠C=∠CAE,
∵∠AEB=∠C+∠CAE,
∴∠AEB=2∠C,
∵∠ABC=2∠C,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
∴DC=2AE=2AB.

7. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为AF，CE的中点.求证：OB=$\sqrt{2}$OM.

答案：
证明:如图,连接OE,BM.
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=45°,又
∵点E,F分别在AB,AC上,且AE=EF,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∵点O是AF的中点,
∴OE⊥AC,又
∵点M是CE的中点,
∴BM=OM=CM=$\frac{1}{2}$CE,
∴∠OCM=∠COM,∠MCB=∠MBC,
∴∠BMO=∠OME+∠BME=2∠OCM+2∠BCM=2∠ACB=90°,
∴△BOM是等腰直角三角形,
∴OB=$\sqrt{BM^{2}+OM^{2}}$=$\sqrt{OM^{2}+OM^{2}}$=$\sqrt{2}$OM.