《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若AC=17，BC=16，AD=15，则△ABC的面积为________.
　　

答案： 120

2. 如图，已知正三棱柱ABC - A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3√2，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，且AE=2√2，BF=√2，则EF和C₁E的位置关系是________.
　　

答案： $EF\perp C_{1}E$

3. 如图，∠B=90°，BC=3，AB=4，AF=12，正方形CDEF的面积为169，证明：∠FAC=90°.
　　

答案： 证明：$\because$ 正方形 $CDEF$ 的面积为 169，$\therefore FC = 13$.$\because\angle B = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AB = 4$，$\therefore AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$.$\because 5^{2}+12^{2}=13^{2}$，即$AC^{2}+AF^{2}=FC^{2}$，$\therefore\angle FAC = 90^{\circ}$.

4. 如图，△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，求BC的长.
　　

答案：
解：如图，延长 $AD$ 至点 $E$，使 $ED = AD$，连接 $BE$.

$\because AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$\therefore BD = CD$.
在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle EDB$ 中，
$\begin{cases}AD = ED,\\\angle ADC=\angle EDB,\\CD = BD,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle EDB(SAS)$，$\therefore AC = EB$.
$\because AC = 3$，$\therefore BE = 3$，
又 $\because AD = 2$，$\therefore AE = 2AD = 4$.
$\because 3^{2}+4^{2}=5^{2}$，即 $BE^{2}+AE^{2}=AB^{2}$，$\therefore\angle E = 90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle BDE$ 中，$BD=\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$，$\therefore BC = 2\sqrt{13}$.

5. 如图，∠ABC=90°，AB=6 cm，AD=24 cm，BC+CD=34 cm，C是直线l上一动点，请你探索当点C离点B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：设 $BC = x\ cm$ 时，$\triangle ACD$ 是以 $CD$ 为斜边的直角三角形.
$\because BC + CD = 34\ cm$，$\therefore CD=(34 - x)\ cm$.
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=6^{2}+x^{2}$，
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$AC^{2}=CD^{2}-AD^{2}=(34 - x)^{2}-24^{2}$，
$\therefore 6^{2}+x^{2}=(34 - x)^{2}-24^{2}$，解得 $x = 8$.
$\therefore$ 当点 $C$ 离点 $B\ 8\ cm$ 时，$\triangle ACD$ 是以 $CD$ 为斜边的直角三角形.

6. 如图，在正方形ABCD中，F是DC边的中点，E为BC边上的一点，且EC=1/4BC.请猜想AF与EF的位置关系，并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：$AF\perp EF$.
理由：设 $EC = a$，则 $DC = DA = AB = BC = 4a$，$BE = 3a$，$CF = DF = 2a$.
由勾股定理，得$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(3a)^{2}} = 5a$，$EF=\sqrt{CF^{2}+CE^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$，$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(2a)^{2}} = 2\sqrt{5}a$，
$\because(\sqrt{5}a)^{2}+(2\sqrt{5}a)^{2}=(5a)^{2}$，即 $EF^{2}+AF^{2}=AE^{2}$，
$\therefore\triangle AEF$ 为直角三角形，斜边为 $AE$，$\therefore\angle AFE = 90^{\circ}$，即 $AF\perp EF$.