《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 如果$a=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}),b=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，那么$a^{2}-ab+b^{2}$的值为（ ）
A. $\frac{7}{2}$
B. $-\frac{9}{2}$
C. $\frac{9}{2}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{2}-1$

答案： A

2. 已知$x=2-\sqrt{3}$，则代数式$(7 + 4\sqrt{3})x^{2}+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}$的值是（ ）
A. 0
B. $\sqrt{3}$
C. $2+\sqrt{3}$
D. $2-\sqrt{3}$

答案： C

3. 计算：$(\sqrt{x}+\sqrt{x - 1})(\sqrt{x}-\sqrt{x - 1})=$________.

答案： 1

4. 计算：$(\sqrt{5})^{0}+\frac{5}{\sqrt{5}}\times(\sqrt{5})^{-1}=$________.

答案： 2

5. 已知$m = 1+\sqrt{2}$，$n = 1-\sqrt{2}$，则代数式$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值为________.

答案： 3

6. 若规定符号“*”的意义是$a*b = ab - b^{2}$，则$2*(\sqrt{2}-1)$的值为________.

答案： $4\sqrt{2}$ −5

7. 方程$\sqrt{3x - 2}=2$的解为________.

答案： x=2

8. 计算：
(1)$(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{6}+\sqrt{2})\div\sqrt{8}$；
(2)$|\sqrt{6}-3|-(\frac{1}{3})^{-1}+\sqrt{24}$；
(3)$(\sqrt{12}-4\sqrt{\frac{1}{8}})-(3\sqrt{\frac{1}{3}}-4\sqrt{0.5})$.

答案： 解:
(1)原式=$\sqrt2$(2 $\sqrt{3}$ −1)(2 $\sqrt{3}$ +1)÷ $\sqrt{8}$ =[(2 $\sqrt{3}$ )²−$1^2$]× $\sqrt{2}$ ÷$\sqrt{8}$ =11× $\sqrt{2}$ ÷ $\sqrt{8}$ = $\frac{11}{2}$ ;
(2)
∵ $\sqrt{6}$ <3,
∴ $\sqrt{6}$ −3<0,
∴ 原式=3− $\sqrt{6}$ −3+2 $\sqrt{6}$ = $\sqrt{6}$ ;
(3)原式=(2 $\sqrt{3}$ −4×$\frac{\sqrt2}{4}$)−(3×$\frac{\sqrt3}{3}$−4×$\frac{\sqrt2}{2}$ )=2 $\sqrt{3}$ −$\sqrt2$−$\sqrt{3}$ +2 $\sqrt{2}$ = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ .

9. 先化简，再求值：$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})-a(a - 6)$，其中$a=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}$.

答案： 解:(a+ $\sqrt{3}$ )(a− $\sqrt{3}$ )−a(a−6)=a²−3−a²+6a=6a−3.
∵ a= $\frac{1}{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{2}$ +$\frac{\sqrt2}{2}$, 2
∴ 原式=6a−3=6×( $\frac{1}{2}$ +$\frac{\sqrt2}{2}$)=3 $\sqrt{2}$

10. 已知$m$是$\sqrt{2}$的小数部分，求$m^{2}+\sqrt{2}m - 2$的值.

答案： 解：由m是$\sqrt2$的小数部分，得m=$\sqrt2$-1
m²+ $\sqrt{2}$ m−2=($\sqrt{2}$ −1)²+ $\sqrt{2}$ ( $\sqrt{2}$ −1)−2=3−2 $\sqrt{2}$ +2−$\sqrt{2}$ −2=3−3 $\sqrt{2}$

11. 请阅读以下材料，并完成相应的任务.
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}\times[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}]$表示(其中，$n\geq1$).这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

答案：