《2025年全优课堂八年级数学下册》

6. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm.
（1）如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD=______ cm；
（2）如图2，若将纸片沿MN折叠，点C与AB的中点H重合，点M，N分别在AC，BC上，则AM²，BN²与MN²之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.

答案：
解：
(1)$3$ 提示：在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10(cm)$。
由折叠的性质，可知$DC'\perp AB$，$DC' = DC$。$\therefore S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ADB}=S_{\triangle ABC}$，$\therefore\frac{1}{2}AC\cdot CD+\frac{1}{2}AB\cdot C'D=\frac{1}{2}AC\cdot CB$，即$\frac{1}{2}\times6\times CD+\frac{1}{2}\times10\times C'D=\frac{1}{2}\times6\times8$。又$\because CD = C'D$，
$\therefore 3CD + 5CD = 24$，$\therefore CD = 3cm$；
(2)$AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$。
证明：如图，过点$B$作$BP// AC$交$MH$的延长线于点$P$，连接$NP$。
$\because BP// AC$，$\therefore\angle A=\angle PBH$。
在$\triangle AMH$和$\triangle BPH$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle PBH,\\AH = BH,\\\angle AHM=\angle BHP,\end{cases}$
$\therefore\triangle AMH\cong\triangle BPH(ASA)$。
$\therefore AM = BP$，$MH = PH$。
又$\because NH\perp MP$，$\therefore MN = NP$。
$\because BP// AC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle NBP = 90^{\circ}$。
$\therefore BP^{2}+BN^{2}=NP^{2}$，$\therefore AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}$。

7. 图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则在图2中MN的长度为（ ）

A. 11$\sqrt{2}$
B. 10$\sqrt{2}$
C. 10
D. 8

答案：
A 提示：长方体展开图如图所示，连接$MN$，按图示延长长方形的边交于点$P$，
则$\triangle MPN$为直角三角形。由题意，得$MP = NP = 5 + 6 = 11$，由勾股定理，得$MN=\sqrt{11^{2}+11^{2}} = 11\sqrt{2}$。

8. 如图所示的是一个正方体的平面展开图，若AB=4，则该正方体A，B两点间的距离为（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 提示：$\because AB = 4$，$\therefore$该正方体的棱长为$\sqrt{2}$。$\because$把正方体组合起来之后会发现$A$，$B$在同一平面的对角线上，所以该正方体$A$，$B$两点间的距离为$2$。

9. 如图，在一块长为2 m，宽为1 m的长方形草地上堆放着一根长方体木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的其中一个面是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达C处需要走的最短路程是____ m.（精确到0.01 m）

答案：
$2.60$ 提示：由题意可知，将木块展开，长相当于是$AB + 2$个正方形的边长，$\therefore$长为$2 + 0.2\times2 = 2.4(m)$，宽为$1m$。
$\therefore$最短路程为$\sqrt{2.4^{2}+1^{2}} = 2.60(m)$。

10. 如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12 cm，高是5 cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要多少厘米？

答案：
解：把圆柱沿$AB$将侧面展开，连接$AB$，如图所示：

$\because AC = 12cm$，$BC = 5cm$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13(cm)$。
答：彩带最短需要$13cm$。