《2025年全优课堂八年级数学下册》

25. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为点D，交AB于点E，且BE² - EA²=AC²，求证：∠A=90°.

答案：
证明：如图，连接$CE$.$\because D$是$BC$的中点，$DE\perp BC$，$\therefore CE = BE$.$\because BE^{2}-EA^{2}=AC^{2}$，$\therefore CE^{2}-EA^{2}=AC^{2}$，$\therefore EA^{2}+AC^{2}=CE^{2}$，$\therefore\triangle ACE$是直角三角形，$\angle A = 90^{\circ}$. 

26. 阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c² - b²c²=a⁴ - b⁴，试判断△ABC的形状.
解：因为a²c² - b²c²=a⁴ - b⁴， …………………… ①
所以c²(a² - b²)=(a² - b²)(a² + b²)， ………… ②
所以c²=a² + b²， ……………………………… ③
所以△ABC是直角三角形. ……………… ④
请你判断上述解题过程是否正确.如果有误，请你将正确的解答过程写下来.

答案： 解：解题过程不正确.$\because a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，$\therefore c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$，$\therefore(a^{2}-b^{2})[c^{2}-(a^{2}+b^{2})]=0$，$\therefore a^{2}-b^{2}=0$或$c^{2}-(a^{2}+b^{2})=0$，$\therefore a = b$或$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，$\therefore\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形.

27.（北京中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°（点A，B，P是网格线交点）.

答案：
45 提示：如图，延长$AP$交格点于点$D$，连接$BD$，则$PD^{2}=BD^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$PB^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，$\therefore PD^{2}+DB^{2}=PB^{2}$，$\therefore\angle PDB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DPB=\angle PAB+\angle PBA = 45^{\circ}$.

28.（益阳中考）已知M，N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形

答案：
B 提示：如图，$AC = AN = 4,BC = BM = 3,AB = 2 + 2 + 1 = 5$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，$\therefore\triangle ABC$是直角三角形.

29. 如图，有一根12 m高的电线杆AB，用铁丝AC，AD固定，现已知用去铁丝AC=15 m，AD=13 m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9 m，B，D两点之间的距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？（注：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）

答案： 解：电线杆和地面垂直.理由：在$\triangle ABC$中，$AC = 15m,BC = 9m,AB = 12m$，则$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ABC = 90^{\circ}$，同理，$AD = 13m,BD = 5m,AB = 12m$，则$AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}$，即$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ABD = 90^{\circ}$，所以电线杆和地面垂直.