《2025年全优课堂八年级数学下册》

18. (8分)自习课上,张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$中实数$a$的取值范围”,她告诉刘敏说:“你把题目抄错了,不是‘$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$’,而是‘$\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$’”.刘敏说:“哎呀,真抄错了,好在不影响结果,反正$a$和$a - 3$都在根号内.”试问刘敏说得对吗? 按照$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$解题和按照$\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$解题的结果一样吗?

答案： 解:刘敏说得不对,结果不一样.若按$\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$计算,则$a\geqslant0$,$a - 3＞0$或$a\leqslant0$,$a - 3＜0$,解得$a＞3$或$a\leqslant0$;而按$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$计算,则只有$a\geqslant0$,$a - 3＞0$,解得$a＞3$.

19. (10分)(1)已知$a,b$为实数,且满足$a=\sqrt{b - 5}+\sqrt{5 - b}+2$,求$\sqrt{ab}\cdot\frac{ab + 4}{a + b}$的值;
(2)当$-4＜x＜1$时,化简:$\sqrt{x^{2}+8x + 16}-2\sqrt{x^{2}-2x + 1}$.

答案： 解:
(1)由二次根式的性质,知$b - 5\geqslant0$,$5 - b\geqslant0$,解得$b = 5$,则$a = 2$.原式$=\sqrt{2\times5}\times\frac{2\times5 + 4}{2 + 5}=2\sqrt{10}$;
(2)$\because - 4＜x＜1$,$\therefore x + 4＞0$,$x - 1＜0$,$\therefore$原式$=\sqrt{(x + 4)^{2}}-2\sqrt{(x - 1)^{2}}=x + 4+2(1 - x)=x + 4+2x - 2=3x + 2$.

20. (10分)由于全球气候变暖,导致一些冰川融化消失.在冰川消失12年后,一种低等植物苔藓就开始在岩石上丛生.每一丛苔藓都会近似长成圆形,每丛苔藓的直径$d$(单位:cm)与冰川消失之后经过的时间$t$(单位:年)近似地满足关系式$d = 7\sqrt{t - 12}$.
(1)求关系式中$t$的取值范围;
(2)计算冰川消失21年后,一丛苔藓的直径;
(3)如果测得一丛苔藓的直径是42 cm,那么冰川大约是在多少年前消失的?

答案： 解:
(1)$t - 12\geqslant0$,解得$t\geqslant12$;
(2)当$t = 21$时,$d = 7\times\sqrt{21 - 12}=7\times\sqrt{9}=7\times3 = 21(cm)$.答:冰川消失21年后,一丛苔藓的直径约为21 cm;
(3)当$d = 42$时,$7\sqrt{t - 12}=42$,即$\sqrt{t - 12}=6$,即$t - 12 = 36$,解得$t = 48$.答:冰川大约是在48年前消失的.