《2025年全优课堂八年级数学下册》

19. 如图，为修建铁路需要凿通隧道AC，量出∠A = 40°，∠B = 50°，AB = 5 km，BC = 4 km，若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道AC凿通？

答案： 解：
∵$∠A = 40^{\circ}$，$∠B = 50^{\circ}$，
∴$∠C = 90^{\circ}$．
∴$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=9$，
∴$AC = 3$km．
∵$3\div0.3 = 10$(天)，
∴10天才能将隧道凿通．

20. 如图所示，OA⊥OB，OA = 45 cm，OB = 15 cm，一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC。

答案： 解：
∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即$BC = CA$．设$AC = x$cm，则$OC=(45 - x)$cm，由勾股定理可知$OB^{2}+OC^{2}=BC^{2}$．
又
∵$OB = 15$cm，
∴$15^{2}+(45 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x = 25$．
答：机器人行走的路程BC是25 cm．

21.（南京中考）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示。将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有____ cm。

答案： 5 提示：由题意可得杯子内的木筷长度最长为$\sqrt{12^{2}+9^{2}} = 15$(cm)，则木筷露在杯子外面的长度至少为$20 - 15 = 5$(cm)．

22.（大庆中考）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港。求A，C两港之间的距离。

答案： 解：由题意可得$∠PBC = 30^{\circ}$，$∠MAB = 60^{\circ}$，
∴$∠CBQ = 60^{\circ}$，$∠BAN = 30^{\circ}$，$AN// BQ$，
∴$∠ABQ = 30^{\circ}$，$∠ABC = 90^{\circ}$．
∵$AB = BC = 10$km，
∴$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10\sqrt{2}$km．

23.（河北中考）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）。笔直铁路经过A，B两地。
（1）A，B间的距离为__________ km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为__________ km。

答案：

(1)20
(2)13 提示：
(1)由A，B两点的纵坐标相同可知：$AB// x$轴．
∴$AB = 12 - (-8)=20$(km)；
(2)如图，过点C作$l\perp AB$于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，连接AD.由
(1)可知$CE = 1 - (-17)=18$(km)，$AE = 12$km．设$CD = x$，
∴$AD = CD = x$，在Rt△ADE中，由勾股定理可知$x^{2}=(18 - x)^{2}+12^{2}$，解得$x = 13$，
∴$CD = 13$km．