《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 如图，两个边长分别为1,2,$\sqrt{5}$的三角形，拼成一个四边形，则能拼成几种不同的四边形 （ ）

A. 2种
B. 3种
C. 4种
D. 5种

答案：
C 提示：
∵ 两个边长分别为 1,2，$\sqrt{5}$的三角形，$1^{2}+2^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，
∴ 两个三角形均为直角三角形.
如图，有以下拼法：

∴ 共 4 种不同的四边形.

2. 如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 （ ）


A. 8或2$\sqrt{3}$
B. 10或4+2$\sqrt{3}$
C. 10或2$\sqrt{3}$
D. 8或4+2$\sqrt{3}$

答案：
D 提示：由题意，得$AB = 2$，
∵$\angle C = 30^{\circ}$，
∴$BC = 2AB = 4$，$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}} = 2\sqrt{3}$，
∵ 沿图中所示的中位线剪开，
∴$CD = AD=\sqrt{3}$，$CF = BF = 2$，$DF = 1$.
如图 1，拼成一个矩形，矩形周长为$1 + 1+2+\sqrt{3}+\sqrt{3}=4 + 2\sqrt{3}$；
如图 2，拼成一个平行四边形，周长为$1 + 1+2+2+2 = 8$.

3. 如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠ （ ）


A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案：
A 提示：如图，将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n 可以为 3,4,5，故$n\neq2$.

4. 如图所示的是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿虚线剪开后，再分别拼一个与原来面积相等的正方形，则 （ ）

A. 甲、乙都可以
B. 甲、乙都不可以
C. 甲不可以，乙可以
D. 甲可以，乙不可以

答案： A

5. 正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如图1：

仿用图1的方法，解答下列问题：
操作：（1）如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；
（2）如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.
　　　　　

答案：
解：
(1)
(2)剪拼图分别如图 1,2 所示，其中 EF，GH 分别是两个三角形的中位线.

6.（1）如图1，纸片□ABCD中，AD=5，$S_{□ABCD}$=15，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为__________；
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D.
①求证：四边形AFF'D是菱形；
②求四边形AFF'D的两条对角线的长.

答案：
解：
(1)矩形
(2)①证明：
∵ 纸片$\square ABCD$中，$AD = 5$，$S_{\square ABCD}=15$，$AE\perp BC$，垂足为点 E，
∴$AE=\frac{15}{5}=3$.
∵$\triangle DE'F'$是由$\triangle AEF$平移得到的，
∴$AF// DF'$，$AF = DF'$，
∴ 四边形$AFF'D$是平行四边形.
在$Rt\triangle AEF$中，由勾股定理，得$AF=\sqrt{AE^{2}+EF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
∴$AF = AD = 5$，
∴ 平行四边形$AFF'D$是菱形；
②如图，连接$AF'$，$DF'$，
在$Rt\triangle DE'F'$中，$E'F=FF'-E'F'=5 - 4 = 1$，$DE' = 3$，
∴$DF'=\sqrt{E'D^{2}+E'F^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，
在$Rt\triangle AE'F'$中，$EF'=EF + FF'=4 + 5 = 9$，$AE = 3$，
∴$AF'=\sqrt{AE^{2}+F'E^{2}}=\sqrt{3^{2}+9^{2}}=3\sqrt{10}$.