《2025年全优课堂八年级数学下册》

8. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A. 四条边相等
B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角
D. 对角线相等

答案： D

9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是 ( )

A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B. 当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形
C. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形

答案： B

10. 如图，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 ( )

A. 8 cm²
B. 16 cm²
C. 4 cm²
D. 无法确定

答案： A 提示：由正方形的轴对称性，得$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8(cm²)$。

11. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为 ( )

A. $\sqrt{3}-1$
B. 3 - $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{5}+1$
D. $\sqrt{5}-1$

答案： D 提示：
∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，
∴DM = $\frac{1}{2}AD = 1$，
∴CM = $\sqrt{DC² + DM²}=\sqrt{2² + 1²}=\sqrt{5}$，
∴ME = MC = $\sqrt{5}$，
∴ED = EM - DM = $\sqrt{5}-1$。
∵四边形EDGF是正方形，
∴DG = DE = $\sqrt{5}-1$。

12. 如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=2 cm，点P为AB上任意一点，PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，则PE+PF的值为 ( )

A. 2 cm
B. $\sqrt{2}$ cm
C. 2$\sqrt{2}$ cm
D. 1 cm

答案： B 提示：由AB = 2 cm，四边形ABCD为正方形，根据勾股定理，得AC = $\sqrt{2² + 2²}=2\sqrt{2}(cm)$，所以OA = $\sqrt{2}cm$，又可证得四边形PFOE为矩形，△APF为等腰直角三角形，所以PF + PE = AF + FO = OA = $\sqrt{2}cm$。

13. 如图，在正方形ABCD中，AB=2 cm，点P为AC上一动点，点E为CD的中点，则PE+PD的最小值为 ( )

A. 2 cm
B. $\sqrt{2}$ cm
C. 2$\sqrt{2}$ cm
D. $\sqrt{5}$ cm

答案： D 提示：点B与点D关于AC对称，连接BE交AC于点P，根据“两点之间线段最短”，得PE + PD的最小值为BE，根据勾股定理可得，BE = $\sqrt{BC² + CE²}=\sqrt{2² + 1²}=\sqrt{5}(cm)$。

14. 一个正方形的面积是2，则它的对角线长是________.

答案： 2

15. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，则∠BED的度数是_______.

答案： 45° 提示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90°。
∵△ADE为等边三角形，
∴AD = AE，∠DAE = ∠AED = 60°。∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = 90° + 60° = 150°，AB = AE，
∴∠AEB = ∠ABE = $\frac{1}{2}(180° - ∠BAE)=15°$，∠BED = ∠AED - ∠AEB = 60° - 15° = 45°。

16. 如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长都等于2，点E恰好是AC与BD的交点，则这两个正方形重叠部分的面积为_______.

答案： 1 提示：由正方形ABCD和正方形EFGH易证△EMB≌△ENC，所以阴影部分的面积等于△CEB的面积，所以重叠部分的面积为$\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}\times2\times2 = 1$。

17. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，则CH的长是________.

答案：
$\sqrt{5}$ 提示：如图，延长AD交EF于点M，连接AC，CF，则AM = BC + CE = 1 + 3 = 4，FM = EF - AB = 3 - 1 = 2，∠AMF = 90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD = ∠GCF = 45°，
∴∠ACF = 90°，
∵H为AF的中点，
∴CH = $\frac{1}{2}AF$。在Rt△AMF中，由勾股定理，得AF = $\sqrt{AM² + FM²}=\sqrt{4² + 2²}=2\sqrt{5}$，
∴CH = $\sqrt{5}$。