《2025年全优课堂八年级数学下册》

20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，CE//BF，连接BE，CF.求证：四边形BFCE是菱形。

答案： 证明：
∵D是BC边的中点，
∴BD = CD，
∵CE//BF，
∴∠DBF = ∠ECD.
在△BDF和△CDE中，
$\begin{cases}\angle DBF = \angle DCE,\\BD = CD,\\\angle BDF = \angle CDE,\end{cases}$
∴△BDF≌△CDE(ASA)，
∴BF = CE，
又
∵CE//BF，
∴四边形BFCE是平行四边形.
∵AB = AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形BFCE是菱形.

21. 如图，D是∠EBF内部的点，DE⊥BE，DF⊥BF，DE=DF，∠FDA=∠EDC，DC=BC. 求证：四边形DABC是菱形。

答案：
证明：如图，连接BD.
∵DE⊥BE，DF⊥BF，
∴∠DFC = ∠DEA = 90°，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
$\begin{cases}DF = DE,\\BD = BD,\end{cases}$
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴∠BDF = ∠BDE，
又
∵∠FDA = ∠EDC，
∴∠FDA - ∠BDF = ∠EDC - ∠BDE，
∴∠ADB = ∠CDB，
∵DE⊥BE，DF⊥BF，DE = DF，
∴∠FBD = ∠EBD，
∵DC = BC，
∴∠CDB = ∠CBD = ∠ABD = ∠ADB，
∴AB = BC = CD = DA，
∴四边形DABC是菱形.

22. (宁夏中考)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ ）

A. AC⊥BD
B. AB=AD
C. AC=BD
D. ∠ABD=∠CBD

答案： C

23. (兰州中考)如图，AC=8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(2)求BD的长.

答案： 解：
(1)四边形ABCD为菱形.理由：由作法，得AB = AD = CB = CD = 5，所以四边形ABCD为菱形；
(2)
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC = 4，OB = OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3，
∴BD = 2OB = 6.

24. 如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形的形状是 _________.

答案： 菱形