《2025年全优课堂八年级数学下册》

23. 如图，AD是已知△ABC中BC边上的高，P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB，PC的长都在变化，试探索PB² - PC²的值如何变化.

答案： 解：$PB^{2}-PC^{2}$的值不变.根据勾股定理，得$PB^{2}=BD^{2}+DP^{2}$，$PC^{2}=CD^{2}+PD^{2}$，$\therefore PB^{2}-PC^{2}=BD^{2}+DP^{2}-(CD^{2}+PD^{2})=BD^{2}-CD^{2}$，$\therefore PB^{2}-PC^{2}$的值不变.

24. 如图，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$AB = 15$，$BC = 14$，$AC = 13$，设$BD = x$，则$CD = 14 - x$，由勾股定理，得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，故$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，解得$x = 9$，$\therefore AD = 12$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times14\times12 = 84$.

25. (毕节中考)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为 ( )

A. √3
B. 3
C. √5
D. 5

答案： B 提示：$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore BC^{2}=EC^{2}-EB^{2}=2^{2}-1^{2}=3$，$\therefore$正方形$ABCD$的面积$=BC^{2}=3$.

26. (邵阳中考)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是 ________.

答案： 4 提示：$\because$勾$a = 6$，弦$c = 10$，$\therefore$股$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$，$\therefore$小正方形的边长$=8 - 6 = 2$，$\therefore$小正方形的面积$=2^{2}=4$.

27. (荆州中考)为了比较√5 + 1与√10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得√5 + 1______√10.(选填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞ 提示：$\because\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$BD = AC = 1$，$\therefore CD = 2$，$\therefore AD=\sqrt{CD^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10}$，$\therefore BD + AD=\sqrt{5}+1$.在$\triangle ABD$中，$AD + BD＞AB$，$\therefore\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$.

28. (宁波中考)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 ( )

A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和

答案： C 提示：设直角三角形的斜边长为$c$，较长直角边长为$b$，较短直角边长为$a$，由勾股定理，得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，阴影部分的面积$=c^{2}-b^{2}-a(c - b)=a^{2}+ac + ab=a(a + b - c)$，较小两个正方形重叠部分的宽$=a-(c - b)$，长$=a$，则较小两个正方形重叠部分的面积$=a(a + b - c)$，$\therefore$知道题图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.