《2025年全优课堂八年级数学下册》

12. 如图,将平行四边形ABCD折叠,使得折叠后点C落在AB边上的C'处,点B落在B'处,EF是折痕,若∠CEF=65°,则∠EC'F=__________.
　　　　　　　　　

答案： 50° 提示:
∵将平行四边形ABCD折叠,使得折叠后点C落在AB边上的C'处,点B落在B'处,
∴∠CEF = ∠C'EF = 65°,
∴∠DEC' = 180° - ∠CEF - ∠C'EF = 180° - 65° - 65° = 50°,
∵DC//AB,
∴∠EC'F = ∠DEC' = 50°.

13. (8分)如图,△ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点.求证:EF//DG,EF=DG.
　　　　　　　　

答案：
证明:如图,连接DE,FG.
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴D,E分别是AC,AB边的中点,
∴DE//BC,DE = $\frac{1}{2}$BC,
同理,FG//BC,FG = $\frac{1}{2}$BC,
∴DE//FG,DE = FG,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∴EF//DG,EF = DG.

14. (12分)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
　
(1)在方框中填空,补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
我的想法是:利用三角形全等,依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 ____________________.

答案： 解:
(1)CD平行
(2)证明:在题图上连接BD,在△ABD和△CDB中,$\begin{cases}AB = CD,\\AD = CB,\\BD = DB\end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠ADB = ∠CBD,∠ABD = ∠CDB,
∴AD//BC,AB//CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(3)平行四边形的两组对边分别相等

15. (14分)如图,四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为点F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵AE⊥AC,BD垂直平分AC,
∴AE//BD,
∵∠ADE = ∠BAD,
∴DE//AB,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)
∵DA平分∠BDE,
∴∠BDA = ∠ADE,
∴∠BAD = ∠ADB,
∴AB = BD = 5,
∵AB² - BF² = AD² - DF²,设BF = x,则5² - x² = 6² - (5 - x)²,解得x = $\frac{7}{5}$,
∴AF = $\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}$ = $\frac{24}{5}$,
∴AC = 2AF = $\frac{48}{5}$.

16. (14分)如图,△ABC中,AB=AC,点D是线段AB上的动点,从点B向点A移动,同时点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点D,E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F.
(1)如图1,过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD,GE,判定四边形CDGE的形状,并证明你的结论;
(2)过点D作直线BC的垂线,垂足为M,当点D,E在移动的过程中,线段BM,MF,CF有何数量关系?请写出你的结论并证明.
　　　　

答案：
解:
(1)四边形CDGE是平行四边形.
证明:如图1,
∵D,E移动的速度相同,
∴BD = CE.
∵DG//AE,
∴∠DGB = ∠ACB,
∵AB = AC,
∴∠B = ∠ACB,
∴∠B = ∠DGB,
∴BD = GD = CE,又
∵DG//CE,
∴四边形CDGE是平行四边形;

(2)BM + CF = MF;
证明:如图2,由
(1)得,BD = GD = CE,
∵DM⊥BC,
∴BM = GM,由
(1)得四边形CDGE是平行四边形,
∴GF = CF,
∴BM + CF = GM + GF = MF.