《2025年全优课堂八年级数学下册》

11. 计算$\sqrt{6a}\div\sqrt{3a}$的结果是 （ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2a}$
D. $\frac{\sqrt{2a}}{2}$

答案： A 提示:原式 = $\sqrt{\frac{6a}{3a}}=\sqrt{2}$.

12. 下列运算中，错误的是 （ ）
A. $\sqrt{6}\div\sqrt{2}=\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
C. $\sqrt{32}\div\sqrt{8}=2$
D. $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=4$

答案： D 提示:D错误,$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$.

13. 化简二次根式$\sqrt{\frac{1}{3}}$的正确结果为 （ ）
A. 3
B. $\frac{1}{3}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： D 提示:$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

14. 下列各式中，是最简二次根式的是 （ ）
A. $\sqrt{\frac{1}{5}}$
B. $\sqrt{0.1}$
C. $\sqrt{15}$
D. $2\sqrt{12}$

答案： C

15. 下列各式的计算中，结果为$2\sqrt{5}$的是 （ ）
A. $\sqrt{2}\times\sqrt{10}$
B. $\sqrt{8}\times\sqrt{5}$
C. $\sqrt{10}\div\sqrt{2}$
D. $\sqrt{\frac{1}{2}}\div\sqrt{\frac{1}{80}}$

答案： A 提示:A.原式 = $2\sqrt{5}$,符合题意;B.原式 = $2\sqrt{10}$,不符合题意;C.原式 = $\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}$,不符合题意;D.原式 = $\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{80}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$,不符合题意.

16. 化简$\sqrt{\frac{18}{a}}$的结果应是 （ ）
A. $\frac{3}{a}\sqrt{2}$
B. $\frac{3}{a}\sqrt{2a}$
C. $3a\sqrt{2a}$
D. $\frac{2}{a}\sqrt{3a}$

答案： B 提示:$\sqrt{\frac{18}{a}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{9\times 2a}}{a}=\frac{3}{a}\sqrt{2a}$.

17. 能使等式$\sqrt{\frac{x}{x - 2}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}$成立的$x$的取值范围是 （ ）
A. $x \neq 2$
B. $x \geqslant 0$
C. $x＞2$
D. $x \geqslant 2$

答案： C 提示:由题意可得$\begin{cases}x\geq0 \\ x - 2＞0\end{cases}$,解得$x＞2$.

18. 下列计算中，正确的是 （ ）
A. $5\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{5}{4}\sqrt{3}$
B. $\sqrt{9\frac{5}{7}}=3\sqrt{\frac{5}{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{35}$
C. $\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{9}{25}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{5}=\frac{17}{20}$
D. $\sqrt{48^{2}-32^{2}}=\sqrt{(48 + 32)(48 - 32)}=16\sqrt{5}$

答案： D

19. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长$a,b,c$，求其面积的秦九韶公式$S=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}}$，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是 （ ）
A. $\frac{3\sqrt{15}}{8}$
B. $\frac{3\sqrt{15}}{4}$
C. $\frac{3\sqrt{15}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{2}$

答案： B 提示:$\because S=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}}$,$\therefore$若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是$S=\frac{1}{2}\times\sqrt{2^{2}\times3^{2}-(\frac{2^{2}+3^{2}-4^{2}}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{15}}{4}$.

20. 把$\sqrt{0.4}$化成最简二次根式为______.

答案： $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 提示:$\sqrt{0.4}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

21. 一个长方形的宽为$\sqrt{3}$，面积为$2\sqrt{6}$，则长方形的长为__________.(结果保留根号)

答案： $2\sqrt{2}$ 提示:$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{6}{3}}=2\sqrt{2}$.

22. 二次根式$\sqrt{12}$，$\sqrt{x - 2}$，$\sqrt{\frac{3}{2}}$，$\sqrt{4a^{2}b^{2}}$中，最简二次根式有__________个.

答案： 1 提示:4个二次根式中只有$\sqrt{x - 2}$是最简二次根式.

23. 把$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}$化简后得__________.

答案： $\frac{\sqrt{b}}{2b}$ 提示:原式 = $\sqrt{\frac{3a}{12ab}}=\sqrt{\frac{1}{4b}}=\sqrt{\frac{b}{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{b}}{2b}$.

24. 若$a$是正整数，$\sqrt{3a + 6}$是最简二次根式，则$a$最小为__________.

答案： 3 提示:$\because a$是正整数,$\sqrt{3a + 6}$是最简二次根式,$\sqrt{3a + 6}=\sqrt{3(a + 2)}$,$\therefore a$最小为3.

25. 对于任意两个和为正数的实数$a,b$，定义运算：$a※b=\frac{a - b}{\sqrt{a + b}}$，例如$3※1=\frac{3 - 1}{\sqrt{3 + 1}}=1$，那么$8※12=$________.

答案： $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 提示:$8※12=\frac{8 - 12}{\sqrt{8 + 12}}=-\frac{4}{\sqrt{20}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

26. 计算：
(1)$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$； (2)$\sqrt{1\frac{2}{3}}\div\sqrt{\frac{5}{6}}$；
(3)$\frac{3}{\sqrt{6}}$； (4)$3\sqrt{2}\div2\sqrt{6}$.

答案： 解:
(1) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$;
(2) $\sqrt{1\frac{2}{3}}\div\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5}{3}\times\frac{6}{5}}=\sqrt{2}$;
(3) $\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$;
(4) $3\sqrt{2}\div2\sqrt{6}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

27. 化简：
(1)$\sqrt{\frac{9}{5}}$； (2)$\sqrt{3.5}$；
(3)$\sqrt{1\frac{7}{25}}$； (4)$\sqrt{\frac{98x^{3}y}{121xy^{3}}}(x＞0,y＞0)$.

答案： 解:
(1) $\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$;
(2) $\sqrt{3.5}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{7\times 2}{2\times 2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$;
(3) $\sqrt{1\frac{7}{25}}=\sqrt{\frac{32}{25}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{25}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$;
(4) $\sqrt{\frac{98x^{3}y}{121xy^{3}}}=\sqrt{\frac{98x^{2}}{121y^{2}}}=\frac{\sqrt{98x^{2}}}{\sqrt{121y^{2}}}=\frac{7\sqrt{2}x}{11y}(x＞0,y＞0)$.