《2025年全优课堂八年级数学下册》

18. 如图，过正方形ABCD的顶点D作DE//AC，交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；
(2)若BD=8 cm，求线段BE的长.

答案： 解：
(1)四边形ACED是平行四边形。理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，即AD//CE，又
∵DE//AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)由
(1)，知BC = AD = CE = CD，
∵BD = 8 cm，BC² + CD² = BD²，
∴BC = CD = 4$\sqrt{2}cm$，
∴BE = BC + CE = 4$\sqrt{2}+4\sqrt{2}=8\sqrt{2}(cm)$。

19. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE=CF；
(2)求BE的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B = 90°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFA = 90°，
∵AE平分∠BAC，
∴BE = EF。又
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB = 45°，
∴∠FEC = ∠FCE，
∴EF = FC，
∴BE = CF；
(2)设BE = x，则EF = CF = x。在Rt△CEF中可求得CE = $\sqrt{2}x$，
∵BC = 1，BE + CE = BC，
∴x + $\sqrt{2}x = 1$，解得x = $\sqrt{2}-1$，即BE的长为$\sqrt{2}-1$。

20. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.

答案： 解：
(1)证明：
∵点O为AB的中点，OE = OD，
∴四边形AEBD是平行四边形。
∵AB = AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
(2)当∠BAC = 90°时，矩形AEBD是正方形。理由：
∵∠BAC = 90°，AB = AC，AD是∠BAC的平分线，
∴△ABC为等腰直角三角形，AD = BD = CD，
∵四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形。

21. (黄石中考)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是 ( )

A. (-1,2)
B. (1,4)
C. (3,2)
D. (-1,0)

答案：
C 提示：如图，由旋转，得CB' = CB = 2，∠BCB' = 90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB = 1，
∴B'(2 + 1,2)，即B'(3,2)。

22. (舟山中考)如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°.求证：矩形ABCD是正方形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = ∠D = ∠C = 90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE = AF，∠AEF = ∠AFE = 60°。
∵∠CEF = 45°，
∴∠CFE = ∠CEF = 45°，
∴∠AFD = ∠AEB = 180° - 45° - 60° = 75°，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB = AD，
∴矩形ABCD是正方形。

23. (北京中考)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2、图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为________.

答案：
12 提示：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA = OC，OB = OD，AC⊥BD。设OA = x，OB = y，由题意，得$\begin{cases}x + y = 5\\x - y = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$，
∴AC = 2OA = 6，BD = 2OB = 4，
∴菱形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}AC\times BD=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12$。