《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 如图，已知DC = 1，AB = 3，∠ABC与∠DAB互余，则BD²+AC²的值为（ ）

A. 10
B. 12
C. 14
D. 8

答案：
A 提示:如图，分别延长AD,BC交于点E.
　　　
∵∠ABC与∠DAB互余，
∴∠E=90°,
∴在Rt△ACE中,AC²=AE²+CE²,
在Rt△BDE中,BD²=BE²+DE²,
∴AC²+BD²=AE²+CE²+BE²+DE²=AB²+DC²=3²+1²=10.

2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知b = 7，c = 2，∠B = 150°，则a等于（ ）
A. 3√3
B. 4√3
C. 5√3
D. 6√3

答案：
2.A 提示:如图所示，作AD⊥CB交CB的延长线于点D.
　　　　　　　　　　
则∠D=90°,
∵∠ABC=150°,
∴∠ABD=30°,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c=1,
BD=$\sqrt{AB²-AD²}$=$\sqrt{2²-1²}$=$\sqrt{3}$.
在Rt△ACD中,AD²+CD²=AC²,
1²+CD²=7²,CD²=48,且CD＞0,
∵(±4$\sqrt{3}$)²=48,
∴CD=4$\sqrt{3}$,
a=CD−BD=3$\sqrt{3}$.

3. 如图，在△ABC中，BC = 2，S△ABC = 3，∠ABC = 135°，求AC，AB的长.

答案：
3.解:如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D.
　
在△ABC中,
∵S△ABC=3,BC=2,
∴AD=$\frac{2×3}{2}$=3.
∵∠ABC=135°,
∴∠ABD=180°−135°=45°,
∴∠ABD=∠DAB=45°,
∴AD=BD=3,
∴AB=$\sqrt{AD²+BD²}$=$\sqrt{3²+3²}$=3$\sqrt{2}$.
在Rt△ADC中,CD=2+3=5,
由勾股定理,得AC=$\sqrt{AD²+CD²}$=$\sqrt{3²+5²}$=$\sqrt{34}$.

4. 四边形ABCD中，∠B = ∠D = 90°，若DC = 2 cm，AB = 5 cm，∠A = 60°.求AD，BC的长.

答案：
4.解:如图所示，延长AD,BC交于点E.


∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°.
∵CD=2cm,
∴EC=2CD=4cm,
∴DE=$\sqrt{CE²−CD²}$=2$\sqrt{3}$cm.
∵AB=5cm,
∴AE=2AB=10cm,
∴BE=$\sqrt{AE²−AB²}$=5$\sqrt{3}$cm,
∴AD=(10−2$\sqrt{3}$)cm,BC=(5$\sqrt{3}$−4)cm.

5. 如图，AC = BC且AC⊥BC，点D在AB上，DC = EC且DC⊥EC.
求证：AD²+BD²=2EC².

答案：
5.证明:如图，连接BE.
　　　　
∵AC=BC且AC⊥BC,DC=EC且DC⊥EC,
∴∠A=∠ABC=45°,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
AC=BC,
∠ACD=∠BCE,
DC=EC,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD,∠EBC=∠A=45°,
∴∠DBE=45°+45°=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDE中,
DE²=BD²+BE²,
DE²=CD²+EC²,
∴BD²+BE²=CD²+EC²,
又
∵AD=BE,CD=EC,
∴AD²+BD²=2EC².

6. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a²+b²=c².
　　　　
　　　　　　　(第6题图)
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF = EC = b - a.
∵S四边形ADCB = S△ACD+S△ABC = 1/2b²+1/2ab，
又∵S四边形ADCB = S△ADB+S△DCB = 1/2c²+1/2a(b - a)，
∴1/2b²+1/2ab = 1/2c²+1/2a(b - a)，∴a²+b²=c².
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a²+b²=c².
证明：连接____________________.
∵S五边形ACBED = ____________________，
又∵S五边形ACBED = ____________________，
∴____________________.
∴a²+b²=c².

答案：
6.证明:如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF,交DE的延长线于点F,则BF=b−a,EF=AC=b.

∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab,
又
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a(b−a),
∴$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a(b−a).
∴a²+b²=c².