《2025年全优课堂八年级数学下册》

20. 如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点.若AC=10，BD=8，求MN的长.

答案： 解：$\because\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$的中点，$\therefore MD = MB = \frac{1}{2}AC = 5$，$\because N$为$BD$的中点，$\therefore MN\perp BD$，$DN = \frac{1}{2}BD = 4$，在Rt$\triangle DNM$中，由勾股定理，得$MN = \sqrt{MD^{2} - DN^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$.

21. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE//DB，交AD的延长线于点E.
（1）求证：四边形BCED为平行四边形；
（2）试说明：CE=2AO.

答案： 解：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，又$\because CE// DB$，$\therefore$四边形$BCED$是平行四边形；
(2)$\because$四边形$BCED$是平行四边形，$\therefore CE = BD$，$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore DB = AC = 2AO$，$\therefore CE = 2AO$.

22. 如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点.求证：
（1）EM=DM；
（2）MN⊥DE.

答案： 证明：
(1)$\because\triangle BCE$为直角三角形，$M$为$BC$边上的中点，$\therefore EM = \frac{1}{2}BC$，同理，$MD = \frac{1}{2}BC$，$\therefore EM = DM$；
(2)$\because EM = DM$，$N$为$ED$的中点，$\therefore MN\perp DE$.

23. (黄石中考)如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACD+∠CED=（ ）

A. 125°
B. 145°
C. 175°
D. 190°

答案： C

24. (徐州中考)如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为__________.

答案： 16

25. (绍兴中考) 有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE =6，BC =5，∠A = ∠B =90°，∠C=135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积.

答案：
解：①如图1，若所截矩形材料一条边是$BC$，过点$C$作$CF\perp AE$于点$F$，$S_{1} = AB\cdot BC = 6×5 = 30$；
②如图2，若所截矩形材料的一条边是$AE$.过点$E$作$EF// AB$交$CD$于点$F$，$FG\perp AB$于点$G$，过点$C$作$CH\perp FG$于点$H$，则四边形$AEFG$为矩形，四边形$BCHG$为矩形，$\because\angle BCD = 135^{\circ}$，$\therefore\angle FCH = 45^{\circ}$，$\therefore\triangle CHF$为等腰直角三角形，$\therefore AE = FG = 6$，$HG = BC = 5$，$BG = CH = FH = FG - HG = 6 - 5 = 1$，$\therefore AG = AB - BG = 6 - 1 = 5$，$\therefore S_{2} = AE\cdot AG = 6×5 = 30$.