《2025年全优课堂八年级数学下册》

8. 如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，点E，F，G，H分别为各边中点. 若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为 （ ）

A. 48
B. 24
C. 12
D. 6

答案： C

9. 如图，在□ABCD中，AG，BE，CE，DG分别为四个内角的平分线，AG与BE相交于点F，CE与DG相交于点H，则四边形EFGH的形状是________.

答案： 矩形 提示：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC,\therefore\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$，$\because AG,BE$分别平分$\angle DAB$与$\angle ABC$，$\therefore\angle GAB=\frac{1}{2}\angle DAB,\angle EBA=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\therefore\angle GAB+\angle EBA = 90^{\circ}$，$\therefore\angle EFG=\angle AFB = 90^{\circ}$，同理$\angle HEF=\angle G = 90^{\circ},\angle EHG=\angle DHC = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$EFGH$是矩形.

10. 如图，将边长为2个单位长度的等边三角形ABC沿边BC向右平移1个单位长度后得到△DEF，则四边形AECD的形状为__________.

答案： 矩形 提示：$\because$将边长为 2 个单位长度的等边三角形$ABC$沿边$BC$向右平移 1 个单位长度后得到$\triangle DEF$，$\therefore AD// EC,AB = AC = DE = 2,AD = BE = 1$，又$\because BC = AB = 2,\therefore EC = BC - BE = 2 - 1 = 1$，$\therefore AD = EC,\therefore$四边形$AECD$为平行四边形，$\because AC = DE,\therefore$平行四边形$AECD$为矩形.

11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B，C除外），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为______.

答案：
4.8 提示：如图，连接$AP$，$\because\angle BAC = 90^{\circ},AB = 6,AC = 8$，$\therefore BC=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，$\because PE\perp AB$于点$E,PF\perp AC$于点$F$，$\therefore\angle AEP=\angle AFP=\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$AEPF$是矩形，$\therefore EF = AP$，当$AP\perp BC$时，$AP$最小，则$EF$也最小.$\because\frac{1}{2}BC\cdot AP=\frac{1}{2}AB\cdot AC$，$\therefore AP=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\times8}{10}=4.8$，$\therefore EF = AP = 4.8$，$\therefore EF$的最小值为 4.8.

12. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.

答案： 解：
(1)证明：$\because CF$平分$\angle ACD$，且$MN// BD$，$\therefore\angle ACF=\angle FCD=\angle CFO$，$\therefore OF = OC$，同理，$OC = OE$，$\therefore OE = OF$；
(2)$\because CE$平分$\angle ACB$，$CF$平分$\angle ACD$，$\therefore\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB,\angle ACF=\frac{1}{2}\angle ACD$，又$\because\angle ACB+\angle ACD = 180^{\circ}$，$\therefore\angle ACE+\angle ACF = 90^{\circ}$，即$\angle ECF = 90^{\circ}$，$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$，$\therefore OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$；
(3)当点$O$移动到$AC$中点时，四边形$AECF$为矩形.
理由：由
(1)知$OE = OF$，当点$O$移动到$AC$中点时，$OA = OC$，$\therefore$四边形$AECF$为平行四边形，又$\because\angle ECF = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$AECF$是矩形.

13.（临沂中考）如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是 （ ）

A. OM=$\frac{1}{2}$AC
B. MB=MO
C. BD⊥AC
D. ∠AMB=∠CND

答案： A 提示：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OA = OC,OB = OD$，$\because$对角线$BD$上的两点$M,N$满足$BM = DN$，$\therefore OB - BM = OD - DN$，即$OM = ON$，$\therefore$四边形$AMCN$是平行四边形，$\because OM=\frac{1}{2}AC$，$\therefore MN = AC$，$\therefore$四边形$AMCN$是矩形.

14. 王晓同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，______，
求证：平行四边形ABCD是__________.
（1）填空，补全已知和求证；
（2）按王晓的想法（如图2）写出证明过程.

答案： 解：
(1)$AC = BD$ 矩形
(2)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// CB,AD = BC$，在$\triangle ADC$和$\triangle BCD$中，
$\begin{cases}AC = BD,\\AD = BC,\\CD = DC,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BCD(SSS)$，
$\therefore\angle ADC=\angle BCD$.
又$\because AD// CB$，$\therefore\angle ADC+\angle BCD = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle ADC=\angle BCD = 90^{\circ}$.
$\therefore$平行四边形$ABCD$是矩形.