《2025年全优课堂八年级数学下册》

28. 先把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式.
（1）$a^2 - 7$；
（2）$3x^2 - 2$.

答案： 解：
(1)$a^{2}-7=a^{2}-(\sqrt{7})^{2}=(a + \sqrt{7})(a - \sqrt{7})$；
(2)$3x^{2}-2=(\sqrt{3}x)^{2}-(\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{3}x + \sqrt{2})(\sqrt{3}x - \sqrt{2})$.

29. 已知$a = 2+\sqrt{3}$，$b = 2-\sqrt{3}$，试求$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$的值.

答案： 解：$\because a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$，$\therefore a + b = 4$，$a - b = 2\sqrt{3}$，$ab = 1$. $\therefore\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}=\frac{(a - b)(a + b)}{ab}=4\times2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.

30.（盘锦中考）计算：$(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})=$__________.

答案： 2

31.（菏泽中考）已知$x=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，那么$x^2-2\sqrt{2}x$的值是__________.

答案： 4

32.（大连中考）计算：$(\sqrt{3}-2)^2+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}$.

答案： 解：原式$=3 + 4 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 6\times\frac{\sqrt{3}}{3}=3 + 4 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}=7$.

33. 观察下列各式：
①$f(1)=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；②$f(2)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$；③$f(3)=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2}$；④$f(4)=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2}\cdots\cdots$
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律求$f(n)$；
（2）计算：$(2\sqrt{2023}+2)[f(1)+f(2)+f(3)+\cdots + f(2022)]$.

答案： 解：
(1)$f(n)=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{2}$；
(2)原式$=2(\sqrt{2023} + 1)\times(\frac{\sqrt{2}-1}{2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2023}-\sqrt{2022}}{2})=(\sqrt{2023} + 1)\times(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2023}-\sqrt{2022})=(\sqrt{2023} + 1)\times(\sqrt{2023}-1)=2023 - 1 = 2022$.