《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA=∠B.
(1) 猜想四边形AFDE是什么四边形并证明你的猜想；
(2)若AB=8，BC=10，求四边形AFDE的周长.

答案： 解：
(1)四边形AFDE是平行四边形.证明：
∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE//AC，DE = $\frac{1}{2}$AC，
∴AD = DB，CE = BE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠BDE = ∠BAF = 90°，在△DFA和△BED中，$\begin{cases}\angle FDA = \angle B \\AD = DB \\\angle DAF = \angle BDE\end{cases}$，
∴△DFA≌△BED(ASA)，AF = DE，又
∵DE//AC，
∴DE//AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
(2)
∵AB = 8，BC = 10，
∴AC = 6，
∴DE = 3，
∵E为BC的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$BC = 5，
∴四边形AFDE的周长 = 2DE + 2AE = 6 + 10 = 16.

2. 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC分别交AB于点D，交AC于点E. 已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.
小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
(1)请回答：BC+DE的值为 __________；
(2)参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数.

答案：
解：$\sqrt{34}$ 提示：
∵DE//BC，EF//DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF = CD = 3，CF = DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC + DE = BC + CF = BF = $\sqrt{BE^{2}+EF^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{34}$；
(2)如图，连接AE，CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB = DC，
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB//FE，AB = EF，BF = AE，
∴DC//EF，DC = EF，
∴四边形DCEF是平行四边形，
∴CE//DF，CE = DF，
∵AC = BF = DF，
∴AC = AE = CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE = 60°.
∵CE//DF，
∴∠AGF = ∠ACE = 60°.
　　　　

3. 如图，四边形ABCD是正方形，AB=4，E是边CD上的点，F是DA延长线上的点，且CE=AF，将△BCE沿BE折叠，得到△BC'E，延长BC'交AD于点G.
(1)求证：△BCE≌△BAF；
(2)①若DG=1，求FG的长；
②若∠CBE=30°，点B和点H关于DF的对称，求证：四边形FHGB是菱形.

答案： 解：
(1)证明：在正方形ABCD中，BC = BA，∠C = ∠BAD = ∠BAF = 90°，又
∵CE = AF，
∴△BCE≌△BAF(SAS)；
(2)①
∵△BCE≌△BAF，
∴∠ABF = ∠CBE，
∵∠ABE + ∠CBE = 90°，
∴∠FBE = ∠ABE + ∠ABF = 90°，
∴∠FBG = 90° - ∠C'BE = 90° - ∠CBE = 90° - ∠ABF = ∠GFB，
∴FG = BG，
∵AD = AB = 4，DG = 1，
∴AG = 3，BG = $\sqrt{AB^{2}+AG^{2}}$ = 5，
∴FG = BG = 5；
②证明：
∵∠CBE = 30°，
∴∠ABF = ∠CBE = ∠ABG = 30°，
∵点B关于DA的对称点为点H，
∴BF = HF，GH = GB，∠ABF = ∠AHF = 30° = ∠ABG = ∠GHA，
∴BF//GH，FH//BG，
∴四边形FHGB是平行四边形，
∵BH⊥GF，
∴平行四边形FHGB是菱形.

4. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=8 cm，BC=10 cm，AB=6 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动.若设运动时间为t(s).
(1)直接写出：QD=______ cm，PC=________ cm；(用含t的式子表示)
(2)当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？
(3)若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

答案：
解：
(1)(8 - t) (10 - 2t)
(2)
∵四边形PQDC是平行四边形，而AD//BC，
∴DQ = PC，由
(1)，知DQ = 8 - t，PC = 10 - 2t，
∴8 - t = 10 - 2t，解得t = 2，即t = 2 s时，四边形PQDC是平行四边形；
(3)由
(1)
(2)，知AQ = t，BP = 2t，DQ = 8 - t，PC = 10 - 2t，
∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，
∴①当DP = QP时，点P在DQ的垂直平分线上，
∴AQ + $\frac{1}{2}$DQ = BP，
∴t + $\frac{1}{2}$(8 - t) = 2t，解得t = $\frac{8}{3}$；
②如图，当DQ = PQ时，过点Q作QE⊥BC于点E，则∠BEQ = ∠AQE = 90°，
∵AD//BC，∠B = 90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴EQ = AB = 6，BE = AQ = t，
∴PE = BP - BE = t，在Rt△PEQ中，PQ = $\sqrt{PE^{2}+EQ^{2}}$ = $\sqrt{t^{2}+36}$，
∵DQ = 8 - t，
∴$\sqrt{t^{2}+36}$ = 8 - t，解得t = $\frac{7}{4}$，
∵点P在边BC上，不与点C重合，
∴0≤2t＜10，
∴0≤t＜5，
∴此种情况符合题意，
综上，当t = $\frac{8}{3}$ s或$\frac{7}{4}$ s时，△DPQ是等腰三角形.