《2025年全优课堂八年级数学下册》

10. 如图，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到菱形的面积为________ cm².

答案： 10 提示：由题意，得AB = 4 cm，BC = 5 cm，
∴BE = 2 cm，BF = 2.5 cm，
∴ 在菱形A'B'C'D'中，$\frac{1}{2}A'C' = 2$ cm，$\frac{1}{2}B'D' = 2.5$ cm，则A'C' = 4 cm，B'D' = 5 cm，
∴ 菱形的面积 = 4×5÷2 = 10(cm²)。

11. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α =____ °.

答案：
56 提示：如图，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC = ∠ACB = 68°。由作法可知，AF是∠DAC的平分线，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠EAF = $\frac{1}{2}∠DAC = 34°$，∠AEF = 90°，
∴∠AFE = 90° - 34° = 56°，
∴∠α = ∠AFE = 56°。

12. 如图，五边形ABCDE的各边相等，连接AC,AD,CE,CE交AD于点F，连接BF，则线段AC,BF,CD之间的关系式是__________.

答案： $AC^{2}+BF^{2}=4CD^{2}$ 提示：
∵ 五边形ABCDE各边相等，
∴AB//CE，AD//BC，
∴ 四边形ABCF是平行四边形，又
∵AB = BC，
∴ 四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
∴$OB^{2}+OC^{2}=BC^{2}$。
∵AC = 2OC，BF = 2OB，
∴$AC^{2}+BF^{2}=(2OC)^{2}+(2OB)^{2}=4OC^{2}+4OB^{2}=4BC^{2}$，又
∵BC = CD，
∴$AC^{2}+BF^{2}=4CD^{2}$。

13. (12分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论.他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
请根据该图完成这个推论的证明过程.
证明:S矩形NFCD = S△ADC - (S△ANF + S△FGC)，
S矩形EBMF = S△ABC - (________ + ________).
易知，S△ADC = S△ABC，__________ = __________，________ = __________.
可得S矩形NFCD = S矩形EBMF

答案： $S_{\triangle AEF}$ $S_{\triangle FMC}$ $S_{\triangle ANF}$ $S_{\triangle AEF}$ $S_{\triangle FGC}$ $S_{\triangle FMC}$ 提示：$S_{矩形NFGD}=S_{\triangle ADC}-(S_{\triangle ANF}+S_{\triangle FGC})$，$S_{矩形EBMF}=S_{\triangle ABC}-(S_{\triangle AEF}+S_{\triangle FMC})$。易知$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle ANF}=S_{\triangle AEF}$，$S_{\triangle FGC}=S_{\triangle FMC}$，可得$S_{矩形NFGD}=S_{矩形EBMF}$。

14. (14分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC = 90°，AC = AD，M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM = MN;
(2)若∠BAD = 60°，AC平分∠BAD，AC = 2，求BN的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵∠ABC = 90°，M为AC的中点，
∴BM = $\frac{1}{2}AC$。
∵M为AC的中点，N为DC的中点，
∴MN = $\frac{1}{2}AD$，
∵AD = AC，
∴BM = MN；
(2)
∵∠BAD = 60°，AC平分∠BAD，
∴∠DAC = ∠CAB = 30°，
∵AC = 2，
∴BM = AM = $\frac{1}{2}AC = 1$，
∴∠MAB = ∠MBA = 30°，
∴∠CMB = 60°，由三角形中位线定理，得MN//AD，MN = $\frac{1}{2}AD = 1$，
∴∠DAC = ∠NMC = 30°，
∴∠NMB = ∠NMC + ∠CMB = 90°，
∴△NMB是等腰直角三角形，由勾股定理，得BN = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。

15. (14分)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证:△BDF是等腰三角形;
(2)如图2，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由;
②若AB = 6，AD = 8，求FG的长.

答案： 解：
(1)证明：根据折叠，知∠DBC = ∠DBE，
∵AD//BC，
∴∠DBC = ∠ADB，
∴∠DBE = ∠ADB，
∴DF = BF，
∴△BDF是等腰三角形；
(2)①四边形BFDG是菱形。理由：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴FD//BG，又
∵DG//BE，
∴ 四边形BFDG是平行四边形，
∵DF = BF，
∴ 四边形BFDG是菱形；
②
∵AB = 6，AD = 8，
∴BD = 10。
∴OB = $\frac{1}{2}BD = 5$。设DF = BF = x，则AF = AD - DF = 8 - x。在Rt△ABF中，$AB^{2}+AF^{2}=BF^{2}$，即$6^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，解得x = $\frac{25}{4}$，即BF = $\frac{25}{4}$，
∴FO = $\sqrt{BF^{2}-OB^{2}}=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-5^{2}}=\frac{15}{4}$，
∴FG = 2FO = $\frac{15}{2}$。