《2025年全优课堂八年级数学下册》

1. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形. 例如：如图，□ABCD中，若AB = 1，BC = 2，则□ABCD为1阶准菱形.
(1)两相邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形吗？说明理由；
(2)操作、探究与计算：①已知□ABCD的两相邻边长分别为1，a(a＞1)，且是3阶准菱形，请画出□ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知□ABCD的两相邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a = 6b + r，b = 5r，请写出□ABCD是几阶准菱形.
　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)是.
理由：
∵ 两相邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为 1 的菱形，
∴ 两相邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 2 阶准菱形；
(2)①如图，$a = 4$或$a=\frac{5}{2}$或$a=\frac{4}{3}$或$a=\frac{5}{3}$；

②10 阶准菱形，$\because a = 6b + r$，$b = 5r$，$\therefore a = 6\times5r + r = 31r$，如图所示：

故$\square ABCD$是 10 阶准菱形.

2. 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
(1)求证：AD + MC = DE + BM；
(2)若正方形的边长是2，求四边形AMCE的面积.

答案：
解：
(1)证明：如图，延长$AE$，$BC$交于点$N$，过点$A$作$AF\perp AE$，交$CB$的延长线于点$F$.
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD// BC$，$\therefore\angle DAE=\angle ENC$.
∵$AE$平分$\angle DAM$，$\therefore\angle DAE=\angle MAE$，$\therefore\angle ENC=\angle MAE$，$\therefore AM = MN$.
∵ 点$E$是$CD$的中点，$\therefore DE = CE$.
在$\triangle ADE$和$\triangle NCE$中，
$\begin{cases}\angle DAE=\angle CNE,\\\angle AED=\angle NEC,\\DE = CE,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle NCE(AAS)$，$\therefore AD = NC$，$\therefore AM = MN = NC + MC = AD + MC$.
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore\angle BAD=\angle D=\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = AD$，$AB// DC$.
$\because AF\perp AE$，$\therefore\angle FAE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle FAB = 90^{\circ}-\angle BAE=\angle DAE$.
在$\triangle ABF$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases}\angle FAB=\angle EAD,\\AB = AD,\\\angle ABF=\angle D = 90^{\circ},\end{cases}$
$\therefore\triangle ABF\cong\triangle ADE(ASA)$，$\therefore BF = DE$，$\angle F=\angle AED$.
$\because AB// DC$，$\therefore\angle AED=\angle BAE$.
$\because\angle FAB=\angle EAD=\angle EAM$，
$\therefore\angle AED=\angle BAE=\angle BAM+\angle EAM=\angle BAM+\angle FAB=\angle FAM$，
$\therefore\angle F=\angle FAM$，$\therefore AM = FM$，
$\therefore AM = FB + BM = DE + BM$，
$\therefore AD + MC = DE + BM$；

(2)$\because AD + MC = DE + BM$，
$\therefore AD + MC = DE + BC - MC$，$\therefore DE = 2MC$.
∵ 正方形$ABCD$的边长为 2，$E$是$CD$边的中点，$\therefore AB = BC = CD = AD = 2$，$DE = 1$，$\therefore MC=\frac{1}{2}$，$\therefore BM = BC - MC = 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$\therefore$ 四边形$AMCE$的面积 = 正方形$ABCD$的面积 - $\triangle ABM$的面积 - $\triangle ADE$的面积$=2\times2-\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times2\times1=\frac{3}{2}$.

3. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB = 3 cm，AD = 5 cm，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF//AB交PQ于点F，连接BF.
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动.
①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；
②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.
　　　

答案：
解：
(1)证明：
∵ 折叠纸片使点$B$落在边$AD$上的$E$处，折痕为$PQ$，
∴ 点$B$与点$E$关于$PQ$对称，
$\therefore PB = PE$，$BF = EF$，$\angle BPF=\angle EPF$，
又$\because EF// AB$，$\therefore\angle BPF=\angle EFP$，
$\therefore\angle EPF=\angle EFP$，
$\therefore EP = EF$，$\therefore BP = EP = BF = EF$，
$\therefore$ 四边形$BFEP$为菱形；
(2)①
∵ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore BC = AD = 5\ cm$，$CD = AB = 3\ cm$，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，
∵ 点$B$与$E$关于$PQ$对称，$\therefore CE = BC = 5\ cm$，
在$Rt\triangle CDE$中，$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}} = 4\ cm$，$\therefore AE = AD - DE = 5 - 4 = 1(cm)$；
在$Rt\triangle APE$中，$AE = 1$，$AP = 3 - PB = 3 - PE$，$\therefore EP^{2}=1^{2}+(3 - EP)^{2}$，解得$EP=\frac{5}{3}$，
$\therefore$ 菱形$BFEP$的边长为$\frac{5}{3}\ cm$；
②当点$Q$与点$C$重合时，点$E$离点$A$最近，由①知，此时$AE = 1\ cm$；当点$P$与点$A$重合时，如图，点$E$离点$A$最远，且此时四边形$ABQE$为正方形，$AE = AB = 3\ cm$，$\therefore$ 点$E$在边$AD$上移动的最大距离为$3 - 1 = 2(cm)$.