《2025年全优课堂八年级数学下册》

11. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )
 
A. 48
B. 60
C. 76
D. 80

答案： C 提示：$\because\angle AEB = 90^{\circ}$，$AE = 6$，$BE = 8$，$\therefore$在$Rt\triangle ABE$中，$AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}=100$.$\therefore S_{阴影部分}=S_{正方形ABCD}-S_{\triangle ABE}=AB^{2}-\frac{1}{2}\times AE\times BE = 100-\frac{1}{2}\times6\times8 = 76$.

12. 若一个直角三角形的一条直角边长是7 cm，另一条直角边比斜边短1 cm，则斜边长为( )
A. 18 cm
B. 20 cm
C. 24 cm
D. 25 cm

答案： D 提示：依题意，设斜边长为$x$ cm，则另一条直角边长为$(x - 1)$ cm，由勾股定理，得$7^{2}+(x - 1)^{2}=x^{2}$，解得$x = 25$.

13. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a + b)²=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ( )

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C 提示：$\because(a + b)^{2}=21$，$\therefore a^{2}+2ab + b^{2}=21$.$\because$大正方形的面积为13，$\therefore a^{2}+b^{2}=13$，$\therefore 2ab = 21 - 13 = 8$，$\therefore$小正方形的面积为$13 - 4\times\frac{1}{2}ab = 13 - 2ab = 13 - 8 = 5$.

14. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是 ( )
 
A. 1
B. 3
C. 6
D. √3

答案： B 提示：在题图上连接$AP$，$BP$，$CP$，设$PE = PF = PG = x$.$\because AB = 7$，$BC = 24$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore AC=\sqrt{7^{2}+24^{2}} = 25$.再根据直角三角形的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times CB = 84$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}AB\cdot x+\frac{1}{2}AC\cdot x+\frac{1}{2}BC\cdot x=\frac{1}{2}(AB + AC + BC)\cdot x=\frac{1}{2}\times56x = 28x$，得$28x = 84$，$\therefore x = 3$.

15. 如图，分别以Rt△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分总面积为S2，则 ( )
 
A. S1=S2
B. S1＜S2
C. S1＞S2
D. 无法确定

答案： A 提示：$\because\triangle ABC$为直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$.$\because S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{\pi}{8}AB^{2}$，$S_{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{AC}{2})^{2}+\frac{1}{2}\pi(\frac{BC}{2})^{2}=\frac{\pi}{8}(AC^{2}+BC^{2})=\frac{\pi}{8}AB^{2}=S_{1}$，$\therefore S_{1}=S_{2}$.

16. 在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 _______.

答案： $2\sqrt{6}$

17. 在直角坐标系中，点P(3，-2)到原点的距离是 _______.

答案：
$\sqrt{13}$ 提示：如图，作$PA\perp x$轴于点$A$，则$PA = 2$，$OA = 3$，根据勾股定理，得$OP=\sqrt{PA^{2}+OA^{2}}=\sqrt{13}$.

18. 若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足√(a² - 6a + 9)+|b - 4|=0，则该直角三角形的斜边长为 _______.

答案： 5 提示：$\because\sqrt{a^{2}-6a + 9}+|b - 4|=0$，$\therefore a^{2}-6a + 9 = 0$，$b - 4 = 0$，解得$a = 3$，$b = 4$.$\because$直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，$\therefore$该直角三角形的斜边长$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$.

19. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 _________.
 

答案：
16 提示：如图，由于$a$，$b$，$c$都是正方形，所以$AC = CD$，$\angle ACD = 90^{\circ}$.$\because\angle ACB+\angle DCE=\angle ACB+\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BAC=\angle ECD$.又$\because\angle ABC=\angle CED = 90^{\circ}$，$AC = CD$，$\therefore\triangle ACB\cong\triangle CDE(AAS)$，$\therefore AB = CE$，$BC = ED$.在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=AB^{2}+ED^{2}$，即$S_{b}=S_{a}+S_{c}=5 + 11 = 16$.

20. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-6，0)，(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为_______.
 

答案： $(4,0)$ 提示：$\because$点$A$，$B$的坐标分别为$(-6,0)$，$(0,8)$，$\therefore OA = 6$，$OB = 8$.在$Rt\triangle ABO$中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}} = 10$，$\therefore AC = AB = 10$，$\therefore OC = AC - OA = 10 - 6 = 4$.$\therefore$点$C$的坐标为$(4,0)$.

21. 在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°.
(1)已知b=8，c=6，求a；
(2)已知b=√5，a:c=1:2，求a，c.

答案： 解：
(1)$a=\sqrt{b^{2}-c^{2}}=\sqrt{8^{2}-6^{2}} = 2\sqrt{7}$；
(2)$\because a:c = 1:2$，$\therefore c = 2a$.$\because a^{2}+c^{2}=b^{2}$，$\therefore 5a^{2}=b^{2}$.$\therefore b=\sqrt{5}$，$\therefore a = 1$，则$c = 2$.

22. 如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC的长.

答案： 解：$\because AC\perp CE$，$AD = BE = 13$，$BC = 5$，$\therefore EC=\sqrt{BE^{2}-BC^{2}} = 12$.$\because DE = 7$，$\therefore CD = EC - DE = 5$，$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}} = 12$.