《2025年全优课堂八年级数学下册》

20. 如图，菱形ABCD中，AB = 4，∠ABC = 60°，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF = 60°，求CE + CF的值.

答案：
解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=BC=CD=4，∠BCD=∠BAD=120°，∠D=60°，∠ACB=∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴AB=AC=AD，又
∵∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠CAD，
∴∠1=∠2，
在△AEC和△AFD中，
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\AC = AD, \\∠ACE = ∠D = 60^{\circ}\end{cases}$
∴△AEC≌△AFD(ASA)，
∴CE=DF，
∴CE+CF=DF+CF=CD=4.

21. 如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F.
(1)求证：BE = BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC = 8，BD = 6时，求BE的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF，
又
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE=BF；
(2)在题图上连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，DO= $\frac{1}{2}BD = 3$ ，AO= $\frac{1}{2}AC = 4$ ，
根据勾股定理，得AD= $\sqrt{AO^{2}+DO^{2}} = 5$ ，
$S_{菱形ABCD}=AD\cdot BE=\frac{1}{2}AC\cdot BD$ ，
即 $5BE=\frac{1}{2}\times8\times6$ ，
∴BE= $\frac{24}{5}$ .

22. 如图，菱形ABCD的边长为5，过点A作对角线AC的垂线，交CB的延长线于点E，AE = 4.
(1)求证：BE = BC；
(2)求S菱形ABCD.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵EA⊥AC，
∴∠E+∠ACB=∠EAB+∠BAC=90°，
∴∠E=∠EAB，
∴BA=BE，
∴BE=BC；
(2)在Rt△ACE中，BC=BA=BE=5，
∴CE=10，
∴AE= $\sqrt{CE^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}} = 2\sqrt{21}$ ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴△ABC≌△ADC，
∴$S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ABC}=S_{\triangle EAC}=\frac{1}{2}AE\cdot AC=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{21}=4\sqrt{21}$ .

23. (贵阳中考)如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC = 60°，那么这个菱形的对角线AC的长是 ( )

A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm

答案： A

24. (河北中考)如图，菱形ABCD中，∠D = 150°，则∠1 = ( )

A. 30°
B. 25°
C. 20°
D. 15°

答案： D 提示：
∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°，
∴AB//CD，∠BAD=2∠BAC，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180° - 150°=30°，
∴∠1=15°.

25. (广西中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO = 4，S菱形ABCD = 24，则AH =__________.

答案： $\frac{24}{5}$ 提示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴AC=8，
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD = 24$ ，
∴BC= $\sqrt{OB^{2}+OC^{2}} = 5$ ，
∵$S_{菱形ABCD}=BC\cdot AH = 24$ ，
∴AH= $\frac{24}{5}$ .

26. 如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O.将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合.若AC = 8，BD = 6，则图中阴影部分的面积为________.

答案： 18 提示：在菱形ABCD中，
OC= $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times8 = 4$ ，
∵菱形沿EF折叠，点C与点O重合，
∴EF是△BCD的中位线，且由轴对称可得，OC垂直平分EF，
∴EF= $\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\times6 = 3$ ，
∴阴影部分的面积= $\frac{1}{2}AC\cdot BD-\frac{1}{2}OC\cdot EF=\frac{1}{2}\times8\times6-\frac{1}{2}\times4\times3 = 24 - 6 = 18$ .