《2025年全效学习学业评价方案七年级数学上册人教版》

8. [2025长沙模拟]进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法. 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制. 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示$E+F=1D$，用十进制表示也就是$14+15=1×16+13$，则用十六进制表示$E×F=$（ ）

A.D2
B.2D
C.F5
D.E0

答案： 8.A

9. (1)将六进制数$(123)_6$转化成二进制数为________；
(2)若三进制数$a=(1210)_3$，四进制数$b=(303)_4$，试比较$a$与$b$的大小关系并说明理由.

答案： $(1)$
先将六进制数$(123)_6$转化为十进制数：
根据$n$进制数$(a_{m}a_{m - 1}·s a_{0})_n=a_{m}× n^{m}+a_{m - 1}× n^{m - 1}+·s+a_{0}× n^{0}$，可得$(123)_6=1×6^{2}+2×6^{1}+3×6^{0}=36 + 12+3=51$。
再将十进制数$51$转化为二进制数：
用除$2$取余法，$51÷2 = 25·s·s1$，$25÷2 = 12·s·s1$，$12÷2 = 6·s·s0$，$6÷2 = 3·s·s0$，$3÷2 = 1·s·s1$，$1÷2 = 0·s·s1$。
从下往上取余数得$(110011)_2$。
$(2)$
解：
先将三进制数$a=(1210)_3$转化为十进制数：
根据$n$进制数$(a_{m}a_{m - 1}·s a_{0})_n=a_{m}× n^{m}+a_{m - 1}× n^{m - 1}+·s+a_{0}× n^{0}$，可得$a=(1210)_3=1×3^{3}+2×3^{2}+1×3^{1}+0×3^{0}=27 + 18+3+0 = 48$。
再将四进制数$b=(303)_4$转化为十进制数：
$b=(303)_4=3×4^{2}+0×4^{1}+3×4^{0}=3×16+0 + 3=48 + 3=51$。
因为$48\lt51$，所以$a\lt b$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{(110011)_2}$；$(2)\boldsymbol{a\lt b}$。

10. 【创新观念】综合与实践.
古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法. 至今，我们仍然使用一星期7天、一年12个月、一小时60分钟的记时方法. 某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下.
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数. 例如，$(1011)_2$就是二进制数1011的简单写法. 十进制数一般不标注基数.
③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
规定当$a≠0$时，$a^0=1$.
例如，$3721=3×10^3+7×10^2+2×10^1+1×10^0$；
$(421)_7=4×7^2+2×7^1+1×7^0$.
【解决问题】
任务1 将$(1101)_2$表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：
$(1101)_2=$________________________.
任务2 类比十进制加减法计算(结果保留二进制)：
①$(11011)_2+(1101)_2=$________；
②$(11011)_2-(1101)_2=$________.
任务3 已知2025年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到2025年6月25日的天数，并判断6月25日是星期几. (天数算法举例：2025年1月1日至2025年1月6日的天数为6天)

答案： 10.任务1 1×2$^3$+1×2$^2$+0×2$^1$+1×2$^0$ 任务2 ①
(101000)$_2$ ②
(1110)$_2$ 任务3 2025年6月25日为星期三