《2025年全效学习学业评价方案七年级数学上册人教版》

2. 概念：如果一个$n× n$矩阵(教材中表现为方格图)的每行、每列以及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从 1 到$n$的自然数，这样的矩阵就称为$n$阶幻方. 有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题.
下面介绍一种构造三阶幻方的方法——杨辉法：口诀(如图)为“九子斜对，上下对易，左右相更，四维挺出”.

(1)请你将下列九个数：$-18$，$-16$，$-14$，$-12$，$-10$，$-8$，$-6$，$-4$，$-2$分别填入图①中的方格 1 中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等；
(2)将图①方格 2 中的 9 个数填入方格 3 中，使每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等；
(3)请你将下列九个数：4，6，8，$-5$，$-3$，$-1$，13，15，17 分别填入图①中的方格 4 中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等；

(4)请将$-6$，$-3$，0，3，6，9，12，15，18 填入图②，使其构成一个幻方；
(5)如图③，在一个由 6 个圆圈组成的三角形里，把$-7$，$-6$，$-5$，$-4$，$-3$，$-2$这 6 个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和$S$都相等，请直接写出$S$的最大值.

答案： （1）
首先求这九个数的和$S=-18 - 16-14 - 12-10 - 8-6 - 4-2=\frac{(-18 - 2)×9}{2}=-90$，则每行、每列、每条对角线的和为$\frac{-90}{3}=-30$。
中间数为$-10$（因为三阶幻方中间数是这$9$个数的平均数）。
然后根据$-18+( - 2)+(-10)=-30$，$-16+( - 4)+(-10)=-30$，$-14+( - 6)+(-10)=-30$，$-12+( - 8)+(-10)=-30$，以及对角线和为$-30$，可得：
$\begin{bmatrix}-16&-18&-16\\-6&-10&-14\\-8&-12&-10\end{bmatrix}$（答案不唯一，可通过旋转、对称得到其他形式）。
（2）
$\begin{bmatrix}8&10&6\\6&8&10\\10&6&8\end{bmatrix}$
3. （3）
先求这九个数的和$S = 4 + 6+8-5 - 3-1 + 13+15+17=(4 + 6+8)+(-5 - 3-1)+(13+15+17)=18-9 + 45=54$，则每行、每列、每条对角线的和为$\frac{54}{3}=18$。
中间数为$6$（因为三阶幻方中间数是这$9$个数的平均数$\frac{54}{9}=6$）。
然后根据$4 + 17+(-3)=18$，$8 + 15+(-5)=18$，$13+6+(-1)=18$，$-5+6+17 = 18$等关系，可得：
$\begin{bmatrix}-5&17&6\\13&6&-1\\8&-3&13\end{bmatrix}$（答案不唯一，可通过旋转、对称得到其他形式）。
（4）
先求这九个数的和$S=-6 - 3+0 + 3+6+9+12+15+18=\frac{(-6 + 18)×9}{2}=54$，则每行、每列、每条对角线的和为$\frac{54}{3}=18$。
中间数为$6$（因为三阶幻方中间数是这$9$个数的平均数$\frac{54}{9}=6$）。
然后根据$-6+18 + 6=18$，$-3+15 + 6=18$，$0+12 + 6=18$，$3+9 + 6=18$，以及对角线和为$18$，可得：
$\begin{bmatrix}-3&18&3\\12&6&0\\9&-6&15\end{bmatrix}$（答案不唯一，可通过旋转、对称得到其他形式）。
（5）S的最大值为-12