《2025年全效学习学业评价方案七年级数学上册人教版》

1. 如图①，已知 $\angle AOB$ 内部有三条射线 $OE$，$OC$，$OF$，$OE$ 平分 $\angle BOC$，$OF$ 平分 $\angle AOC$。
（1）若 $\angle AOC = 30^{\circ}$，$\angle BOC = 60^{\circ}$，则 $\angle EOF =$______。
（2）若 $\angle AOC=\alpha$，$\angle BOC=\beta$，则 $\angle EOF =$______。
（3）若 $\angle AOB=\theta$，你能猜想出 $\angle EOF$ 与 $\theta$ 的关系吗？请说明理由。

（4）若射线 $OC$ 在 $\angle AOB$ 的外部如图②所示位置，且 $\angle AOB=\theta$，$OE$ 平分 $\angle BOC$，$OF$ 平分 $\angle AOC$，则（3）中的结论还成立吗？请说明理由。

答案： （1）因为$OE$平分$\angle BOC$，$\angle BOC = 60^{\circ}$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$；
因为$OF$平分$\angle AOC$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，所以$\angle FOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×30^{\circ}=15^{\circ}$；
则$\angle EOF=\angle EOC+\angle FOC = 30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}$。
（2）因为$OE$平分$\angle BOC$，$\angle BOC=\beta$，所以$\angle EOC = \frac{1}{2}\beta$；
因为$OF$平分$\angle AOC$，$\angle AOC=\alpha$，所以$\angle FOC=\frac{1}{2}\alpha$；
则$\angle EOF=\angle EOC+\angle FOC=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$。
（3）解：$\angle EOF=\frac{1}{2}\theta$。
理由：因为$OE$平分$\angle BOC$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle BOC$；因为$OF$平分$\angle AOC$，所以$\angle FOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
则$\angle EOF=\angle EOC+\angle FOC=\frac{1}{2}\angle BOC+\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\angle BOC+\angle AOC)$。
又因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=\theta$，所以$\angle EOF=\frac{1}{2}\theta$。
（4）解：结论仍然成立，即$\angle EOF=\frac{1}{2}\theta$。
理由：因为$OE$平分$\angle BOC$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle BOC$；因为$OF$平分$\angle AOC$，所以$\angle FOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
则$\angle EOF=\angle FOC - \angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC-\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC - \angle BOC)$。
又因为$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=\theta$，所以$\angle EOF=\frac{1}{2}\theta$。
综上，答案依次为：（1）$45^{\circ}$；（2）$\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$；（3）$\angle EOF = \frac{1}{2}\theta$；（4）成立，$\angle EOF=\frac{1}{2}\theta$。

2. 如图，已知 $\angle AOB=\frac{1}{2}\angle BOC$，$\angle COD=\angle AOD = 3\angle AOB$，求 $\angle AOB$ 和 $\angle COD$ 的度数。

答案： $2.\angle AOB=40^{\circ},\angle COD=120^{\circ}$