《2025年全效学习学业评价方案七年级数学上册人教版》

7. [2024 甘肃]定义一种新运算$*$，规定运算法则为：$m*n = m^{n}-mn$（$m$，$n$均是整数，且$m\neq0$）。例如，$2*3 = 2^{3}-2×3 = 2$，则$(-2)*2=$______。

答案： 7.8

8. 阅读下列材料，并解决问题。
一般地，$n$个相同的因数$a$相乘：$\underbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{n个}$记为$a^{n}$，如$2^{3}=8$，此时，3 叫作以 2 为底 8 的对数，记为$\log_{2}8$（即$\log_{2}8 = 3$）。
一般地，若$a^{n}=b$（$a＞0$且$a\neq1$，$b＞0$），则$n$叫作以$a$为底$b$的对数，记为$\log_{a}b$（即$\log_{a}b = n$），如$3^{4}=81$，则 4 叫作以 3 为底 81 的对数，记为$\log_{3}81$（即$\log_{3}81 = 4$）。
(1)$\log_{2}4=$______，$\log_{2}16=$______，$\log_{2}64=$______；
(2)观察(1)中三个数 4，16，64 之间满足的关系式为______，$\log_{2}4$，$\log_{2}16$，$\log_{2}64$之间满足的关系式为______；
(3)由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结论为：$\log_{a}M+\log_{a}N=$______（$a＞0$且$a\neq1$，$M＞0$，$N＞0$）。

答案： $8.(1)246 (2)4×16=64 \log_{2}{4}+\log_{2}{16}=\log_{2}{64}$
$(3)\log_{a}(MN)$

9. 【应用意识】《庄子天下篇》中记载道：一尺之棰，日取其半，万世不竭。这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完。根据这句话计算：$1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{2^{3}}-\cdots-\dfrac{1}{2^{2024}}-\dfrac{1}{2^{2025}}=$______。

答案： $9.\frac{1}{2^{2025}}$

10. 【创新意识】[2024 杭州模拟]观察下列等式：
第 1 个等式：$a_{1}=\dfrac{1}{1×3}=\dfrac{1}{2}×\left(1-\dfrac{1}{3}\right)$；
第 2 个等式：$a_{2}=\dfrac{1}{3×5}=\dfrac{1}{2}×\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)$；
第 3 个等式：$a_{3}=\dfrac{1}{5×7}=\dfrac{1}{2}×\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)$；
第 4 个等式：$a_{4}=\dfrac{1}{7×9}=\dfrac{1}{2}×\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}\right)$；
……
请回答下列问题：
(1)按以上规律写出第 5 个等式：$a_{5}=$______$=$______；
(2)求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{10}$的值。

答案： $10.(1)\frac{1}{9×11} \frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}) (2)\frac{10}{21}$