《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

15. ($★★$)如图①,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AB的垂直平分线交AB于点N$,交$BC的延长线于点M$,$\angle A= 40^{\circ}$,求$\angle NMB$的度数.
(1)如果将题目中$\angle A的度数改为70^{\circ}$,如图②,其余条件不变,再求$\angle NMB$的度数.
(2)你发现了什么样的规律？试证明你的结论.
(3)将题目中的$\angle A$改为钝角,如图③,(2)中发现的规律还成立吗？

答案：
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠A=40°,
∴∠B=1/2(180°-∠A)=1/2×(180°-40°)=70°.
∵MN⊥AB,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°.
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠A=70°,
∴∠B=1/2(180°-∠A)=1/2×(180°-70°)=55°.
∵MN⊥AB,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°.
(2)规律:∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半.证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=1/2(180°-∠A).
∵∠BNM=90°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-1/2(180°-∠A)=1/2∠A,即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半.
(3)∠NMB=1/2∠A依然成立.

16. ($★$)如图,在一个房间内,有一个长为$1.6\mathrm{m}$的梯子(图中$CM$)斜靠在墙上,此时梯子的倾斜角为$75^{\circ}$,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子的倾斜角为$45^{\circ}$,那么$MN$的长是1.6$\mathrm{m}$.

答案： 1.6

17. ($★★$)如图,在$\triangle ABC$中,以点$A$为圆心,$AC$的长为半径作弧,与$BC交于点E$,分别以点$E和点C$为圆心,大

于

$\frac{1}{2}EC$的长为半径作弧,两弧相交于点$P$,作射线$AP交BC于点D$.若$\angle B= 45^{\circ}$,$\angle ACB= 2\angle CAD$,则$\angle BAE$的度数为【A】

A.$15^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： A

18. ($★★$)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D$,$E是\triangle ABC$内的两点,$AE平分\angle BAC$,$\angle D= \angle DBC= 60^{\circ}$,若$BD= 5\mathrm{cm}$,$DE= 3\mathrm{cm}$,求$BC$的长.

答案： 如图,延长 DE 交 BC 于点 M,延长 AE 交 BC 于点 N.
∵AB=AC，AE 平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN.
∴∠ENM=90°.
∵∠D=∠DBC=60°,
∴∠DMB=60°,
∴△BDM为等边三角形.
∴BD=DM=BM=5 cm.
∴EM=DM-DE=5-3=2(cm).
∵∠DMB=60°,∠ENM=90°,
∴∠NEM=30°.
∴NM=1/2EM=1 cm.
∴BN=4 cm.
∴BC=2BN=8 cm.