《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

12. (★★)如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,过点C作CF⊥AD于点F,且CB= CD.
(1)判断∠ABC与∠D之间的数量关系,并说明理由.
(2)若$CF= 6,AB= 4,S_{△ACD}= 21,$求DF的长.

答案：
（1）∠ABC+∠D=180°.理由如下：

如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.
∵ CH⊥AB，CF⊥AD，
∴ ∠H=∠CFA=90°.
∵ AC为∠BAD的平分线，
∴ ∠CAH=∠CAF.
在△CAH和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠H=∠CFA,\\ ∠CAH=∠CAF,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴ △CAH≌△CAF(AAS).
∴ CH=CF.
在Rt△CBH和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} CB=CD,\\ CH=CF,\end{array}\right. $
∴ Rt△CBH≌Rt△CDF(HL).
∴ ∠CBH=∠D.
∵ ∠CBH+∠ABC=180°，
∴ ∠ABC+∠D=180°.
（2）由（1）知，Rt△CBH≌Rt△CDF，
∴ BH=DF.
∵ S△ACD=21，
∴ $\frac{1}{2}$AD·CF=21.
∵ CF=6，
∴ AD=7.
由（1）知，△CAH≌△CAF，
∴ AH=AF.
∵ AD+AB=AF+DF+AH - BH=2AF，
∴ 2AF=7+4=11.
∴ AF=5.5.
∴ DF=AD - AF=7 - 5.5=1.5.

13. (★★★)(1)如图①,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,点D,E分别在边AC,AB上.若CE= BD,则线段AE和线段AD之间的数量关系是___.
(2)如图②,在△ABC中,∠BAC＞90°,AB= AC,点D,E分别在边AC,AB上,且CE= BD,则线段AE和线段AD之间有什么数量关系?请说明理由.

答案：
（1）AE=AD
（2）AE=AD.理由如下：
如图，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N，则∠M=∠N=90°.

在△ABN和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠N=∠M,\\ ∠BAN=∠CAM,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴ △ABN≌△ACM(AAS).
∴ BN=CM，AN=AM.
在Rt△CME和Rt△BND中，
$\left\{\begin{array}{l} CE=BD,\\ CM=BN,\end{array}\right. $
∴ Rt△CME≌Rt△BND(HL).
∴ ME=ND.
∵ AM=AN，
∴ AE=AD.

14. (★★★)如图,在△ABC中,AH是高,AE//BC,AB= AE,在AB边上取点D,连接DE,DE= AC,若$S_{△ABC}= 5S_{△ADE},BH= 1,$则BC的长为______.

答案：
2.5 提示：过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于点P，

∴ ∠P=∠AHB=90°.
∵ AE//BC，
∴ ∠EAP=∠CBA.
在△ABH和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AHB=∠P,\\ ∠CBA=∠EAP,\\ AB=AE,\end{array}\right. $
∴ △ABH≌△EAP(AAS).
∴ AH=EP，BH=AP.
在Rt△DEP和Rt△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l} DE=AC,\\ EP=AH,\end{array}\right. $
∴ Rt△DEP≌Rt△CAH(HL).
∴ DP=CH，S△DEP=S△CAH.
∵ S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
∴ S△ABH∶S△ADE=2∶1.
∴ BH∶AD=2∶1.
∵ BH=1，
∴ AD=0.5.
∴ BC=BH+HC=1+DP=1+AD+AP=1+0.5+BH=1.5+1=2.5.