《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

15. (★★)如图,在$\triangle ABC$中,$BE平分\angle ABC$,$\angle 2 = \angle 1 + \angle C$.
(1)求证：$AD \perp BE$；
(2)若$\angle ABC = 2\angle 1$,求证：$\angle BAC = 90^{\circ}$.

答案：
(1)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵ ∠AED+∠BEC=180°，在△BEC中，∠EBC+∠C+∠BEC=180°，
∴ ∠AED=∠EBC+∠C.同理∠ADB=∠1+∠AED.
∴ ∠ADB=∠1+∠C+∠ABE.又
∵ ∠2=∠1+∠C，
∴ ∠ADB=∠2+∠ABD.在△ABD中，∠ABD+∠2+∠ADB=180°，
∴ ∠ADB=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴ AD⊥BE.
(2)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵ ∠ABC=2∠1，
∴ ∠ABE=∠1.由
(1)可知，∠2+∠ABD=90°，
∴ ∠2+∠1=90°.
∴ ∠BAC=90°.

16. (★★★)(1)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC和\angle ACB的平分线相交于点O$,若$\angle A = 42^{\circ}$,求$\angle BOC$的度数；
(2)把(1)中“$\angle A = 42^{\circ}$”这个条件去掉,试探索$\angle BOC和\angle A$之间有怎样的数量关系.

答案：
(1)
∵ ∠A=42°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°.
∵ BO，CO分别是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线，
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴ ∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×138°=69°.
∴ ∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-69°=111°.
(2)
∵ BO，CO分别是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线，
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴ ∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A).
∴ ∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

17. (★★★)如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,点$E在边AC$上,连接$AD$,$DE$,$\angle B = 60^{\circ}$.
(1)若$\angle 3 = 60^{\circ}$,试说明$\angle 1 = \angle 2$；
(2)若$\angle C = 40^{\circ}$,$\angle 1 = 50^{\circ}$,且$\angle 3 = \angle 4$,求$\angle 2$的度数.

答案：
(1)在△ABD中，∠B=60°，
∴ ∠1=180°-∠B-∠ADB=120°-∠ADB.又
∵ ∠3=60°，
∴ ∠2=180°-∠3-∠ADB=120°-∠ADB.
∴ ∠1=∠2.
(2)
∵ ∠C=40°，∠B=60°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.又
∵ ∠1=50°，
∴ ∠DAE=∠BAC-∠1=30°.又
∵ ∠3=∠4，∠DAE+∠3+∠4=180°，
∴ ∠4=75°.
∴ ∠DEC=180°-∠4=105°.
∴ ∠2=180°-∠DEC-∠C=35°.