《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

14. (★★★)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,过点D作DE⊥BC于点E.
(1)如图①,若∠BAC= 68°,求∠BDC的度数;
(2)如图②,连接AD,求证:AD平分∠CAM;
(3)如图②,若△ABC的周长为20,求BE的长.

答案：
(1)
∵ ∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,
∴ ∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠DCN.
∵ ∠ACN是△ABC的一个外角,且∠BAC=68°,
∴ ∠ACN - ∠ABC=∠BAC=68°.
∴ ∠DCN - ∠CBD=1/2(∠ACN - ∠ABC)=1/2∠BAC=1/2×68°=34°.
∵ ∠DCN是△DBC的一个外角,
∴ ∠BDC=∠DCN - ∠CBD=34°.
(2)如图,过点D分别作DP⊥BA于点P,DQ⊥AC于点Q.
∵ DE⊥BC,DP⊥BA,BD平分∠ABC,
∴ DP=DE.
同理:DQ=DE.
∴ DP=DQ.
∵ DP⊥AM,DQ⊥AC,
∴ AD平分∠CAM.
(3)如上图,由
(2)知,DP=DQ.
在Rt△ADQ和Rt△ADP中,
AD=AD,
DQ=DP,
∴ Rt△ADQ≌Rt△ADP(HL).
∴ AQ=AP.
同理:BP=BE,CQ=CE.
∵ △ABC的周长=AB+BC+AC=20,
∴ AB+BC+AQ+CQ=AB+BC+AP+CE=20.
∵ BP=BE,
∴ AB+AP=BC+CE.
∴ BC+CE=10,即BE=10.

15. (★★★)已知C为射线AD上一点,∠A= ∠B,PA= PB.
(1)如图①,求证:CP平分∠BCD;
(2)如图②,AP与BC交于点M,若∠APB= 2∠APC,求证:BM= AC+CM.

答案：
(1)如图,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥AD于点F,
则∠BEP=∠AFP=90°.
在△BEP和△AFP中,
∠BEP=∠AFP,
∠B=∠A,
PB=PA,
∴ △BEP≌△AFP(AAS).
∴ PE=PF.
又
∵ PE⊥BC,PF⊥AD,
∴ CP平分∠BCD.
(2)如图,作∠APB的平分线PG,交BC于点G,
则∠BPG=∠APG=1/2∠APB.
又
∵ ∠APB=2∠APC,
∴ ∠APC=∠BPG=∠APG.
∴ ∠CPM=∠GPM.
在△ACP和△BGP中,
∠APC=∠BPG,
PA=PB,
∠A=∠B,
∴ △ACP≌△BGP(ASA).
∴ AC=BG,PC=PG.
在△CPM和△GPM中,
PC=PG,
∠CPM=∠GPM,
PM=PM,
∴ △CPM≌△GPM(SAS).
∴ CM=GM.
∵ BM=BG+GM,
∴ BM=AC+CM.