《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

18.(★★)先化简,再求值：$(a + b)(a - b) + (4ab^{3} - 8a^{2}b^{2}) ÷ (4ab)$,其中$a = 2$,$b = 1$。

答案： 由题意,得$(a+b)(a-b)+(4ab^{3}-8a^{2}b^{2})÷(4ab)=(a^{2}-b^{2})+(4ab^{3})÷(4ab)-(8a^{2}b^{2})÷(4ab)=a^{2}-b^{2}+b^{2}-2ab=a^{2}-2ab.$当$a=2,b=1$时,原式$=2^{2}-2×2×1=4-4=0.$

19.(★★)如图,某市有一块长为$(3a + b)m$、宽为$(2a + b)m$的长方形地块,中间是边长为$(a + b)m$的正方形,规划部门计划在中间的正方形上修建一座雕像,四周的阴影部分进行绿化。
(1)绿化的面积是多少平方米？(用含字母$a$,$b$的式子表示)
(2)求出当$a = 20$,$b = 12$时的绿化面积。

答案：
(1)由题意,得$(3a+b)(2a+b)-(a+b)^{2}=6a^{2}+3ab+2ab+b^{2}-(a^{2}+2ab+b^{2})=6a^{2}+5ab+b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}=5a^{2}+3ab.$所以绿化的面积是$(5a^{2}+3ab)m^{2}.$
(2)当$a=20,b=12$时,$5a^{2}+3ab=5×20^{2}+3×20×12=2000+720=2720.$所以当$a=20,b=12$时的绿化面积是$2720m^{2}.$

20.(★★★)阅读材料：“杨辉三角”,又称“贾宪三角”,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,西方人帕斯卡发现时,已比宋代杨辉要迟三百多年。如图,根据你观察的“杨辉三角”的排列规律,解决下列问题。
(1)$(a + b)^{5}$的展开式共有6项,$(a + b)^{6}$的第三项的系数是15。
(2)①计算：$2^{5} - 5 × 2^{4} + 10 × 2^{3} - 10 × 2^{2} + 5 × 2 - 1$；
②猜想：$(2x - 1)^{6}的展开式中含x^{3}$项的系数是-160。
(3)运用：若今天是星期五,则再过$8^{6}$天是星期六。

答案：
(1)6 15
(2)①$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1=(2-1)^{5}=1.$②-160 提示:$(2x-1)^{6}=(2x)^{6}-6×(2x)^{5}+15×(2x)^{4}-20×(2x)^{3}+15×(2x)^{2}-6×2x+1,$所以含$x^{3}$项的系数为$-20×2^{3}=-160.$
(3)六 提示:$8^{6}=(7+1)^{6}=7^{6}+6×7^{5}+15×7^{4}+20×7^{3}+15×7^{2}+6×7+1,$所以再过$8^{6}$天是星期六.