《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

14. (★★)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100 n mile到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶100 n mile到达C地,则A,C两地相距【A】

A.100 n mile
B.80 n mile
C.60 n mile
D.40 n mile

答案： A

15. (★★)如图,在△ABC中,AB= AC,AF为边BC上的中线,D为AF上的一点,且BD的垂直平分线过点C交BD于点E. 求证：△BCD是等边三角形.

答案：
∵ AB=AC,AF为边BC上的中线,
∴ AF⊥BC.
∴ BD=CD.
∵ CE是BD的垂直平分线,
∴ BC=CD.
∴ BD=CD=BC.
∴ △BCD是等边三角形.

16. (★★★)如图,O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB= 110°,∠BOC= α,△BOC≌△ADC,∠OCD= 60°,连接OD.
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α= 150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?

答案：
(1)
∵ △BOC≌△ADC,
∴ OC=DC.
∵ ∠OCD=60°,
∴ △OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.
理由如下:
∵ △OCD是等边三角形,
∴ ∠ODC=60°.
∵ △BOC≌△ADC,α=150°,
∴ ∠ADC=∠BOC=α=150°.
∴ ∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°.
∴ △AOD是直角三角形.
(3)
∵ △OCD是等边三角形,
∴ ∠COD=∠ODC=60°.
∵ ∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴ ∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°.
∴ ∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,
∴ α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,
∴ α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,
α-60°=50°,
∴ α=110°.
综上所述,当α为110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.

17. (★★★)已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED= EC.
(1)如图①,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论：AE=(填“＞”“＜”或“=”)DB.
(2)如图②,当E为边AB上任意一点时,请判断线段AE与DB的大小关系,并说明理由. (提示：过点E作EF//BC,交AC于点F)
(3)如图③,在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED= EC,若△ABC的边长为3,AE= 6,求线段CD的长.

答案：
(1)=
(2)AE=DB.理由如下:
如图,过点E作EF//BC,交AC于点F.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.
∴ ∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴ △AEF是等边三角形.
∴ AE=EF=AF.
∵ ∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴ ∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠DEB=∠FCE+∠ECD=60°.
∵ ED=EC,
∴ ∠D=∠ECD.
∴ ∠DEB=∠ECF.
在△DEB和△ECF中,$\begin{cases} ∠DEB=∠ECF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ ED=EC, \end{cases}$
∴ △DEB≌△ECF(AAS).
∴ DB=EF=AE,即AE=DB.
(3)如图,过点E作EF//BC,交AC的延长线于点F.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.
∴ ∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴ △AEF是等边三角形.
∴ AE=EF=AF=6.
∵ ∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°,
∴ ∠DBE=∠ABC=∠EFC=60°.
∵ ED=EC,
∴ ∠D=∠ECD.
∵ EF//BC,
∴ ∠ECD=∠CEF.
∴ ∠D=∠CEF.
在△DEB和△ECF中,$\begin{cases} ∠D=∠CEF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ ED=EC, \end{cases}$
∴ △DEB≌△ECF(AAS).
∴ DB=EF=6.
∵ BC=3,
∴ CD=BC+DB=9.