《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

3. (★★) 已知在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD $, $ \angle ABC + \angle ADC = 180° $, $ \angle BAD + \angle BCD = 180° $, $ E $, $ F $ 分别是边 $ BC $, $ CD $ 上的点,且 $ \angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD $。求线段 $ BE $, $ EF $, $ DF $ 之间的数量关系。
(1) 为探究上述问题,小王同学先画出了其中一种特殊情况,如图①。当 $ \angle B = \angle D = 90° $ 时,延长 $ FD $ 至点 $ G $,使 $ DG = BE $,连接 $ AG $。
请你在图①中添加上述辅助线,并补全下面的思路：
先证明 $ \triangle ABE \cong $______,再证明 $ \triangle AEF \cong $______,即可得出线段 $ BE $, $ EF $, $ DF $ 之间的数量关系为______。
(2) 请你借鉴小王的方法探究：如图②,当 $ \angle ABC + \angle ADC = 180° $, $ \angle BAD + \angle BCD = 180° $ 时,上述结论是否依然成立？如果成立,请证明你的结论；如果不成立,请说明理由。
(3) 如图③,若 $ E $, $ F $ 分别是边 $ BC $, $ CD $ 延长线上的点,其他已知条件不变,此时线段 $ BE $, $ EF $, $ DF $ 之间的数量关系为______。(不用证明)


(1)△ADG△AGFEF=BE+DF
(2)上述结论依然成立.理由如下:
如图，延长CB至点M,使BM=DF,连接AM.
∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠1=180°,
∴ ∠1=∠D.
在△ABM和△ADF中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠1=∠D,\\ BM=DF,\end{array}\right.$
∴ △ABM≌△ADF(SAS).
∴ AM=AF,∠3=∠2.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠2+∠4=∠EAF.
∴ ∠3+∠4=∠EAF,
即∠MAE=∠FAE.
在△MAE和△FAE中,
$\left\{\begin{array}{l} AM=AF,\\ ∠MAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right.$
∴ △MAE≌△FAE(SAS).
∴ ME=EF.
∴ EF=ME=BE+BM=BE+DF.
(3)EF=BE−DF

答案：
(1)△ADG △AGF EF=BE+DF
(2)上述结论依然成立.理由如下:
如图，延长CB至点M,使BM=DF,连接AM.
∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠1=180°,
∴ ∠1=∠D.
在△ABM和△ADF中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠1=∠D,\\ BM=DF,\end{array}\right.$
∴ △ABM≌△ADF(SAS).
∴ AM=AF,∠3=∠2.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠2+∠4=∠EAF.
∴ ∠3+∠4=∠EAF,
即∠MAE=∠FAE.
在△MAE和△FAE中,
$\left\{\begin{array}{l} AM=AF,\\ ∠MAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right.$
∴ △MAE≌△FAE(SAS).
∴ ME=EF.
∴ EF=ME=BE+BM=BE+DF.
(3)EF=BE−DF

4. (★★) 如图①, $ OP $ 是 $ \angle MON $ 的平分线, $ A $ 是 $ OP $ 上任意一点,用圆规分别在 $ OM $, $ ON $ 上截取 $ OB $, $ OC $,且 $ OB = OC $,连接 $ AB $, $ AC $,则 $ \triangle AOB \cong \triangle AOC $,判定方法是SAS。

请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：
(1) 如图②,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB $ 是直角, $ \angle B = 60° $, $ AD $, $ CE $ 分别是 $ \angle BAC $, $ \angle BCA $ 的平分线, $ AD $ 与 $ CE $ 相交于点 $ F $,求 $ \angle EFA $ 的度数。
(2) 在 (1) 的条件下,请判断线段 $ FE $ 与 $ FD $ 之间的数量关系,并说明理由。
(3) 如图③,在 $ \triangle ABC $ 中,如果 $ \angle ACB $ 不是直角,而 (1) 中的其他条件不变,试问：在 (2) 中所得结论是否仍然成立？若成立,请说明理由；若不成立,也请说明理由。

答案： SAS
(1)
∵ ∠ACB=90°,∠B=60°,
∴ ∠BAC=30°.
∵ AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，
∴ ∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×30°=15°,∠ECA =$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∴ ∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
(2)FE=FD.理由如下:
如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠EAF=∠GAF.
在△EAF和△GAF中,
$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right.$
∴ △EAF≌△GAF(SAS).
∴ FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.
∴ ∠GFC=180°−∠EFA−∠GFA=180°−60°−60°=60°.
∵ ∠DFC=∠EFA=60°,
∴ ∠DFC=∠GFC.
∵ CE是∠BCA的平分线，
∴ ∠GCF=∠DCF.
在△FDC和△FGC中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠DFC=∠GFC,\\ FC=FC,\\ ∠DCF=∠GCF,\end{array}\right.$
∴ △FDC≌△FGC(ASA).
∴ FD=FG;
∴ FE=FD.
(3)在
(2)中所得结论FE=FD仍然成立.理由如下:
如图,在AC上截取AH=AE,连接FH;
同
(2)可得△EAF≌△HAF
∴ FE=FH,∠EFA=∠HFA.
又由
(1)知,∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴ ∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∴ ∠AFC=180°−(∠FAC+∠FCA)=180°−60°=120°.
∴ ∠EFA=∠HFA=180°−120°=60°.
同
(2)可得△FDC≌△FHC.
∴ FD=FH.
∴ FE=FD.