《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

1. 利用因式分解计算：
(1) $202^{2}+98^{2}+202×196$；
(2) $800^{2}-1600×798+798^{2}$。

答案： 1.
(1)原式$=202^{2}+98^{2}+202×2×98$
$=(202+98)^{2}$
$=90000;$
(2)原式$=800^{2}-2×800×798+798^{2}$
$=(800-798)^{2}$
$=4.$

2. 当 $n$ 为整数时,$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$ 能被 $4$ 整除吗？请说明理由。

答案： 2. 由题意,得$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$
$=[(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)]$
$=2n×2$
$=4n.$
∵ n 为整数,
∴ 4n 为 4 的整数倍.
∴ 当n为整数时,$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$能被4整除.

3. 先阅读材料,然后解决问题：
材料：因为 $(x - 2)(x + 3)= x^{2}+x - 6$,所以 $(x^{2}+x - 6)÷(x - 2)= x + 3$,即 $x^{2}+x - 6$ 能被 $x - 2$ 整除。所以 $x - 2$ 是 $x^{2}+x - 6$ 的一个因式,且当 $x = 2$ 时,$x^{2}+x - 6 = 0$。
(1) 类比思考：$(x + 2)(x + 3)= x^{2}+5x + 6$,所以 $(x^{2}+5x + 6)÷(x + 2)= x + 3$,即 $x^{2}+5x + 6$ 能被$x+2$或$x+3$整除,所以______$x+2$或$x+3$是 $x^{2}+5x + 6$ 的一个因式,且当 $x = $______-2或-3时,$x^{2}+5x + 6 = 0$。
(2) 拓展探究：根据以上材料,已知多项式 $x^{2}+mx - 14$ 能被 $x + 2$ 整除,试求 $m$ 的值。

答案： 3.
(1)$x+2$或$x+3$ $x+2$或$x+3$ -2或-3
(2)
∵ $x^{2}-5x-14$能被$x+2$整除,
∴ 可设$x^{2}+mx-14=(x+2)(x+n).$
∴ $x^{2}+mx-14=x^{2}+(n+2)x+2n.$
∴ $\left\{\begin{array}{l} m=n+2,\\ 2n=-14.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=-5,\\ n=-7.\end{array}\right. $
∴ m 的值为-5.

4. 已知 $a$,$b$,$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三条边的长。
(1) 若 $b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状；
(2) 若 $a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a + c)= 0$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状；
(3) 若 $a^{4}-b^{2}c^{2}= b^{4}-a^{2}c^{2}$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状。

答案： 4.
(1)由题意,得$b^{2}+2ab=c^{2}+2ac$,可变形为$b^{2}-c^{2}=2ac-2ab,$
即$(b+c)(b-c)=2a(c-b),$
即$(b-c)(b+c+2a)=0.$
∵ a,b,c 为$△ABC$的三条边的长,
∴ $b+c+2a≠0.$
∴ $b=c.$
∴ $△ABC$为等腰三角形.
(2)
∵ $a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a + c)= 0$,
∴ $a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0.$
∴ $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0.$
∴ $a-b=0,b-c=0.$
∴ $a=b=c.$
∴ $△ABC$为等边三角形.
(3)
∵ $a^{4}-b^{2}c^{2}=b^{4}-a^{2}c^{2},$
∴ $(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=-c^{2}(a^{2}-b^{2}).$
∴ $c^{2}(a^{2}-b^{2})+(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=0.$
∴ $(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})=0.$
∵ a,b,c 为$△ABC$的三条边的长,
∴ $a^{2}+b^{2}+c^{2}≠0.$
∴ $a^{2}-b^{2}=0.$
∴ $a=b.$
∴ $△ABC$是等腰三角形.