《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

15. (★★)(1)【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺按如图①所示方式放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲三角尺绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件按图②作出示意图,并连接AG,BH,如图③所示,AB交HO于点E,AC交OG于点F,通过证明△OBE≌△OAF,可得OE= OF.请你证明：BH= AG.
(2)【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与BH的位置关系.

答案：
(1)由阅读材料知，△OBE≌△OAF.
∴ BE=AF，OE=OF，∠BEO=∠AFO.
∴ 180°-∠BEH=180°-∠AFG.
∴ ∠BEH=∠AFG.
依题意，得OH=OG.
∴ OH - OE=OG - OF，
即EH=FG.
在△BHE和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l} BE=AF,\\ ∠BEH=∠AFG,\\ EH=FG,\end{array}\right. $
∴ △BHE≌△AGF(SAS).
∴ BH=AG.
(2)猜想：DG⊥BH.
证明如下：由
(1)知，△BHE≌△AGF.
∴ ∠BHE=∠AGF.
依题意，得∠HOG=90°.
∴ ∠AGF+∠GPO=90°.
∴ ∠BHE+∠GPO=90°.
∵ ∠GPO=∠HPD，
∴ ∠BHE+∠HPD=90°.
∴ ∠HDP=90°.
∴ DG⊥BH.

16. (★★)(1)如图①,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 6,DC= $\frac{1}{2}$AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离为2.
(2)如图②,BD是△ABC的外角∠ABP的平分线,DA= DC,DE⊥BP于点E.若AB= 5,BC= 3,则BE的长为1.

答案： 1. （1）
解：
已知$AC = 6$，$DC=\frac{1}{2}AD$，则$DC=\frac{1}{1 + 2}AC$。
根据上述关系可得$DC=\frac{1}{3}×6 = 2$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
点$D$到$AB$的距离等于点$D$到$BC$的距离，而点$D$到$BC$的距离就是$DC$的长。
所以点$D$到$AB$的距离为$2$。
2. （2）
解：
过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$。
因为$BD$是$\angle ABP$的平分线，$DE\perp BP$，$DF\perp AB$，根据角平分线的性质可得$DE = DF$。
在$Rt\triangle DCE$和$Rt\triangle DAF$中，$\left\{\begin{array}{l}DC = DA\\DE = DF\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DAF$，所以$CE = AF$。
又因为$BD = BD$，$DE = DF$，$\angle DEB=\angle DFB = 90^{\circ}$，根据$HL$定理可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle BDF$，所以$BE = BF$。
设$BE=x$，则$BF = x$。
因为$CE = AF$，$CE=BC + BE$，$AF=AB - BF$，已知$AB = 5$，$BC = 3$。
所以$3 + x=5 - x$。
移项可得$x+x=5 - 3$，即$2x = 2$，解得$x = 1$。
综上，答案依次为：（1）$2$；（2）$1$。

17. (★★)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC= 40°,则∠CAP的度数为50°.

答案： 50°

18. (★★)如图,分别在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,P是△MON外角平分线的交点,若MN= 2,$S_{△PMN}= 2,$$S_{△OMN}= 7,$则△MON的周长是11.

答案： 11