《2025年基础训练大象出版社八年级数学上册人教版》

1. (★★) 已知 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle CDE $ 中, $ CA = CB $, $ CD = CE $, $ \angle ACB = \angle DCE = \alpha $, $ AE $ 与 $ BD $ 交于点 $ F $。
(1) 如图①,当 $ \alpha = 90° $ 时,求证：① $ \triangle ACE \cong \triangle BCD $；② $ AE \perp BD $。
(2) 如图②,当 $ \alpha = 60° $ 时, $ \angle AFB $ 的度数为60°。
(3) 如图③, $ \angle AFD $ 的度数为180°−α(用含 $ \alpha $ 的式子表示)。

答案：
(1)①
∵ ∠ACB=∠DCE=90°,
∴ ∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
$\left\{\begin{array}{l} CA=CB,\\ ∠ACE=∠BCD,\\ CE=CD,\end{array}\right.$
∴ △ACE≌△BCD(SAS).
②由
(1)知,△ACE≌△BCD,
∴ ∠CAE=∠CBD.
∵ ∠CAE+∠BAE+∠ABC=90°,
∴ ∠CBD+∠BAE+∠ABC=90°.
∴ ∠AFB=90°.
∴ AE⊥BD.
(2)60°
(3)180°−α

2. (★★)(1)【模型感知】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一,请根据以下问题,把你的感知填写出来。
如图①,点 $ B $, $ D $, $ C $ 在同一条直线上,且 $ \angle B = \angle C = \angle EDF = 60° $, $ BD = CF $,则 $ \triangle BDE \cong $△CFD。
(2)【模型应用】如图②,点 $ B $ 在直线 $ l $ 上,分别过点 $ A $, $ C $ 作 $ AE \perp l $ 于点 $ E $, $ CF \perp l $ 于点 $ F $,且 $ AB = BC $。若 $ AE = 1 $, $ CF = 2 $,则 $ EF $ 的长为3。
(3)【模型变式】如图③,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90° $, $ AC = BC $, $ BE \perp CE $ 于点 $ E $, $ AD \perp CE $ 于点 $ D $, $ DE = 4 $, $ AD = 6 $,求 $ BE $ 的长。

答案：
(1)△CFD
(2)3
(3)
∵ BE⊥CE,AD⊥CE,
∴ ∠E=∠ADC=90°.
∴ ∠DCA+∠CAD=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠DCA+∠BCE=90°.
∴ ∠CAD=∠BCE.
在△BCE和△CAD中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠E=∠ADC,\\ ∠BCE=∠CAD,\\ BC=CA,\end{array}\right.$
∴ △BCE≌△CAD(AAS).
∴ CE=AD=6,BE=CD.
∴ BE=CD=CE−DE=6−4=2.